La retta

Esercitazione web n°2 Esercitazione web n°5 Ogni giorno vi darò compiti per la lezione seguente….. Chi si ama mi segua!!

La retta sul piano cartesiano Ogni retta sul piano cartesiano è caratterizzata da una specifica equazione a seconda della posizione che ha rispetto agli assi. Le equazioni di tutte le rette sono di 1° grado, a una o due variabili (x e y). Rette parallele agli assi cartesiani y = q (q 0) x = p (p 0) Rette passanti per l’origine degli assi y = mx Rette generiche y = mx + q

Retta parallela all’asse x Deduciamo le coordinate di alcuni punti della retta r parallela all’asse x : A(−4; 4), B(−2; 4), C(2; 4), D(4; 4) Hanno tutti la stessa ordinata: + 4 L’equazione di una retta parallela all’asse x è del tipo y = q (q 0), dove q indica l’ordinata di tutti i punti della retta.

L’asse x e le rette parallele ad esso Queste rette sono tutte parallele all’asse x. I punti sull’asse x che caratteristica hanno? Hanno tutti ordinata zero. Ecco perché l’equazione relativa all’asse x è y=0. E le rette ad essa parallele? Possiamo notare che tutti i punti della retta rossa hanno ordinata -1 quindi l’equazione della retta sarà y=-1. Per la retta verde y=1, per la retta blu y=3 per la retta rosa y=4. Notiamo anche che quindi il coefficiente angolare di queste rette è m=0. 6

L’asse y e le rette parallele ad esso Queste rette sono tutte parallele all’asse y. I punti sull’asse y che caratteristica hanno? Hanno tutti l’ascissa zero. Ecco perché l’equazione relativa all’asse y è x=0. e le rette ad essa parallele? Possiamo notare che tutti i punti della retta rossa hanno ascissa -2 quindi l’equazione della retta sarà x=-2. per la retta verde x=2, per la retta blu x=4 per la retta rosa x=6. Notiamo anche che il coefficiente angolare di queste rette è m=∞. 7

COEFFICIENTE ANGOLARE La retta generica L’equazione di una retta generica del piano (non parallela all’asse y) è del tipo y = mx + q TERMINE NOTO COEFFICIENTE ANGOLARE y x O q Il coefficiente angolare m individua l’inclinazione della retta. Il termine noto q rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse y.

Il coefficiente angolare m Il coefficiente angolare è strettamente legato alla misura dell’angolo che la retta forma con il semiasse orientato positivamente delle ascisse 9

Osservazioni sul coefficiente angolare y y=mx  O x Possiamo notare che se m>0 allora l’angolo formato dal semiasse positivo delle ascisse (quello verde) è acuto cioè 0°<<90° 10

Quando l’angolo è ottuso… y y=mx  O x Possiamo notare che se m<0 allora l’angolo formato dal semiasse positivo delle ascisse (quello verde) è ottuso cioè 90°<<180° 11

Alcuni esempi Prova tu • La retta s è parallela all’asse x. Per scrivere la sua equazione consideriamo l’ordinata di uno solo dei suoi punti: B(0; −1). L’equazione della retta s è: y = −1 Il valore assoluto dell’ordinata è la misura della distanza della retta dall’asse x: Prova tu • Traccia sulla retta y = −1 dell’esempio un qualsiasi punto diverso da B: quali sono le sue coordinate? C (..................) Quanto misura la sua distanza dalla retta? d ........... 1

Retta parallela all’asse y Deduciamo le coordinate di alcuni punti della retta t parallela all’asse y : A(3; 2), B(3; 1), C(3; −1), D(3; −2) Hanno tutti la stessa ascissa: +3 L’equazione di una retta parallela all’asse y è del tipo x = p (p 0), dove p indica l’ascissa di tutti i punti della retta.

Alcuni esempi Prova tu • La retta s è parallela all’asse y. Per scrivere la sua equazione utilizziamo l’ascissa di uno solo dei suoi punti: A(- ; 0) L’equazione della retta s è: x = - 3 2 Il valore assoluto dell’ascissa è la misura della distanza della retta dall’asse y: Prova tu • Rappresenta nel piano cartesiano il punto P (4; 2), la retta r passante per P e parallela all’asse x e la retta s, passante per P e parallela all’asse y. Scrivi l’equazione di ognuna delle due rette.

L’equazione di una retta passante per l’origine è del tipo y = mx. Rette passanti per l’origine degli assi Rappresentiamo nel piano cartesiano l’equazione: y = 4x. x y = 4x Coordinate −2 y = 4 • (−2) = −8 A (−2; −8) −1 y = 4 • (−1) = −4 B (−1; −4) y = 4 • (0) = 0 C (0;0) 1 y = 4 • (1) = 4 D (+1;+4) I punti sono tutti allineati: appartengono cioè a una retta, che è la rappresentazione grafica dell’equazione y = 4x. L’equazione di una retta passante per l’origine è del tipo y = mx.

Disegniamo una retta Rappresentiamo nel piano cartesiano l’equazione: y = 2x − 1 x y = 2x − 1 Coordinate −2 y = 2 • (−2) − 1 = −5 A (−2; −5) −1 y = 2 • (−1) − 1= −3 B (−1; −3) y = 2 • (0) − 1 = -1 C (0; − 1) y = 2 • ( ) − 1 = 0 D ( ; 0) 1 2 + 1 y = 2 • (1) − 1 = 1 E (+1; +1) Rappresentando i punti A, B, C, D, E nel piano cartesiano e unendoli, otteniamo una retta non passante per l’origine O.

Alcuni esempi Rappresentiamo nel piano cartesiano l’equazione y = x − 3 con coefficiente angolare m = 1 e termine noto q = −3. x y = x − 3 Coordinate −1 y = −1 −3 = −4 A (−1; −4) y = 0 −3 = − 3 B (0; −3) +1 y = 1 − 3 = − 2 C (+1; −2) +3 y = 3 − 3 = 0 D (+3;0) +4 y = 4 − 3 = +1 E (+4; +1) Il valore di q (−3) coincide con l’ordinata del punto B(0; −3) in cui la retta interseca l’asse y.

Prova tu • Rappresenta nel piano cartesiano la retta di equazione y = x + 2. In quale punto interseca l’asse y ? ……... B(0; 2) x y = x +2 Coordinate

Su e giù per la scala mobile… Una scala mobile parte e si muove con una velocità costante di 2 m/s. La legge del suo moto rettilineo uniforme è: s = v • t = 2 • t È una funzione di proporzionalità diretta e il suo dominio è R+. Il grafico è una semiretta. Dopo 3 secondi dalla partenza, quanti metri ha percorso la scala mobile? …………….. 6 m

Esercitati • Completa con i termini e i simboli ascissa, ordinata, x, y. L’equazione di una retta: parallela all’asse ........ è del tipo y = q, dove q indica l’................. di tutti i punti della retta; parallela all’asse ........ è del tipo x = p, dove p indica l’................. di tutti i punti della retta. ordinata x y ascissa • Riconosci tra le seguenti equazioni quelle che rappresentano rette parallele all’asse x e rette parallele all’asse y. a) y = 7x b) y = 7 c) x = 7 d) y = x + 7 e) x = 5 f) y = 1 7 parallela asse x: b, f parallela asse y: c, e

Esercitati • Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false e correggi quelle false. Data l’equazione di una retta passante per l’origine… V F Correzione il suo coefficiente angolare è m = (x, y 0) se m > 0 allora giace nel I e nel III quadrante se m < 0 allora giace nel II e nel IV quadrante x y x y m = • Scrivi l’equazione e disegna una retta passante per l’origine e che giace: nel I e nel III quadrante: .................... nel II e nel IV quadrante: ...................

Esercitati • Completa scegliendo i termini e i simboli corretti tra x, y, q, m, numerico, angolare, ascissa, ordinata, noto. Una equazione del tipo y = mx + q rappresenta una retta generica del piano (non parallela all’asse ........); m è il coefficiente ..................... e q è il termine .................. e rappresenta l’..................... del punto in cui la retta interseca l’asse ........... x angolare noto ordinata y • Riconosci tra le seguenti equazioni quelle di rette generiche e indica quali sono i valori di m e di q. a) y = −x + 3 m = ........., q = ......... b) y = 3x − 1 m = ........., q = ......... c) y = 3 − 1 m = ........., q = ......... −1 +3 2

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