Definizioni

. Si dice intorno di un punto P di ascissa x0 ogni intervallo aperto (a,b) contenente P all’interno. . A P B o o a x0 b

Si dice intorno destro di un punto P di ascissa x0 ogni intervallo aperto a destra (x0,b) avente l’estremo sinistro in x0. . P B o x0 b

Si dice intorno sinistro di un punto P di ascissa x0 ogni intervallo aperto a sinistra (a,x0) avente l’estremo destro in x0. . A P o a x0

Sia E un sottoinsieme di R Un punto x0 si dice interno ad E se esiste un intorno di x0 i cui punti appartengono tutti ad E.

Un punto x0 si dice esterno ad E se non appartiene ad E ed esiste un intorno di x0 i cui punti non appartengono ad E.

Un punto x0 si dice di frontiera per E se non è né interno né esterno ad E.

X0 si dice punto di accumulazione di E, quando in ogni suo intorno cadono infiniti punti di E.

X0 si dice punto isolato di E, se appartiene ad E ed esiste un suo intorno che non contiene alcun punto di E.

Si dice che la funzione f(x) tende al limite l per x tendente a x0 se, prefissato un numero positivo ed arbitrariamente piccolo è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di x0 contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di quest’intorno, escluso eventualmente x0 , risulti:

cioè l - < f(x) < l + in simboli lim f(x) = l x x0

Interpretazione grafica y . l+ . l l- . . . b a x0 x O

M f(x) > M Si dice che la funzione f(x) tende al limite + per x tendente a x0 se, prefissato un numero positivo ed arbitrariamente grande M è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di x0 contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di quest’intorno, escluso eventualmente x0 , risulti: f(x) > M

cioè lim f(x) = + x x0

Interpretazione grafica y . y=M M . a b O x x0

f(x) < - M M Si dice che la funzione f(x) tende al limite - per x tendente a x0 se, prefissato un numero positivo ed arbitrariamente grande M è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di x0 contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di quest’intorno, escluso eventualmente x0 , risulti: f(x) < - M

Interpretazione grafica y . x0 O a b x . -M y= -M

Si dice che la funzione f(x) tende al limite l per x tendente a + se prefissato ad arbitrio un numero positivo piccolo è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di + contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti

Interpretazione grafica y . l+ . y=l l . l- . a x O

Si dice che la funzione f(x) tende al limite l per x tendente a - se prefissato ad arbitrio un numero positivo piccolo è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di - contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti

Interpretazione grafica y . l+ y=l . l l- x a O

f(x) > M M Si dice che la funzione f(x) tende a + per x tendente a + se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande M è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di + contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti f(x) > M

y . M y=M O x a

f(x) < - M M Si dice che la funzione f(x) tende a - per x tendente a + se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande M è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di + contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti f(x) < - M

y O a x . -M

f(x) > M M Si dice che la funzione f(x) tende a + per x tendente a - se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande M è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di - contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti f(x) > M

y . M x O a

f(x) < - M M Si dice che la funzione f(x) tende a - per x tendente a - se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande M è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di - contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti f(x) < - M

y a x O . -M