EQUAZIONI Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile detta incognita dell’equazione. f(x) = g(x) Esempio: 2x+5=11-x è un’uguaglianza vera se x è uguale a 2. Il valore 2 è detto soluzione dell’equazione.
Per trovare l’eventuale soluzione dell’equazione è opportuno semplificarne la forma senza modificarne il significato … Il primo ed il secondo principio d’equivalenza delle equazioni consentono di passare da un’equazione data ad una ad essa equivalente di forma più semplice
PRINCIPI DI EQUIVALENZA Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni oppure se sono entrambe impossibili I PRINCIPIO f(x) = g(x) => mf(x) = mg(x) con m numero qualsiasi diverso da zero. II PRINCIPIO f(x) = g(x) => f(x) +h(x) = g(x) +h(x) con h(x) espressione qualsiasi nella variabile x.
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si dice equazione di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a ¹ 0. Soluzione: x = - b / a Esempio: 2x - 9 = 0 x = 9 / 2
EQUAZIONI DI 2o GRADO Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e a ¹ 0. SPURIA: a x2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x = 0 x = - b / a PURA: a x2 + c = 0
COMPLETA D = 0 2 soluzioni coincidenti a x2 + b x + c = 0 D > 0 2 soluzioni reali e distinte D = 0 2 soluzioni coincidenti D < 0 nessuna soluzione in R
ESEMPI 2 x2 - 7 x + 3 = 0 D = 49 – 24 > 0 x1=3 x2=1/2
ESEMPI 25x2 + 10x +1 = 0 D = 25 – 25 = 0 x2 - 3 x + 8 = 0 non ha soluzioni in R.
RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI a x2 + b x + c = 0
ESERCIZI Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5: x²-(-4)x+(-5)=0
FATTORIZZAZIONE D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2 a x2 + b x + c = 0 D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2 D < 0 -------------