Risoluzione di triangoli qualsiasi

PROBLEMI CHE MOTIVANO LA RICERCA DI RELAZIONI TRA LATI ED ANGOLI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE ESERCIZIO 1 Per guidare un missile antiaereo, la stazione radar da terra deve valutare in ogni istante la distanza tra l’aereo da colpire e il missile. Il radar, disposto in R, misura la distanza RA ( radar – aereo ) e quella RM ( radar – missile ) e misura l’angolo α tra queste due direzioni. Quello che ci rimane da calcolare è AM (distanza aereo – missile ). Non possiamo usare le formule a noi note se uno dei due angoli, in A o in M, non è retto. Supponendo che RA = 12 km RM = 20 km e α = 65°, quanto dista l’aereo dal missile ?

ESERCIZIO 2 Il radiogoniometro è uno strumento molto utile nella navigazione marittima e viene usato per determinare la direzione da cui proviene un segnale radio. Ad esempio, nel caso in cui accada che una nave N avverta di trovarsi in difficoltà e il segnale venga ricevuto da due capitanerie di porto, A e B, che distano tra loro 400 km in linea d’aria. Con il radiogoniometro le due capitanerie rilevano gli angoli α=110° e β=50°. Ci si chiede: quanto dista la nave N da A e da B? I problemi proposti sono risolubili? Con le conoscenze che abbiamo acquisito sinora non riusciamo a risolverli, abbiamo bisogno di qualcosa di più.

Tracciamo l’altezza CH Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso a, vogliamo trovare il terzo lato a. Tracciamo l’altezza CH A C B b c a CH = b sen a b sen a AH = b cos a c - b cos a BH = AB - AH= c - b cos a H Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB a2 = CH2 + BH2 = (b sen a)2 + (c - b cos a)2 a2 = b2 sen2 a + c2 + b2 cos2 a -2bc cos a Ma: b2 sen2 a + b2 cos2 a = b2 (sen2 a + cos2 a) = b2 pertanto a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

Tracciamo l’altezza CH Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso a, vogliamo trovare il terzo lato a. Tracciamo l’altezza CH A C B b c a CH = b sen a b sen a AH = b cos a c - b cos a BH = AB - AH= c - b cos a H Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB a2 = CH2 + BH2 = (b sen a)2 + (c - b cos a)2 a2 = b2 sen2 a + c2 + b2 cos2 a -2bc cos a Ma: b2 sen2 a + b2 cos2 a = b2 (sen2 a + cos2 a) = b2 pertanto a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

Teorema di Carnot (o del coseno) Abbiamo così ottenuto il Teorema di Carnot (o del coseno) In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo compreso. A C B b c a g a2 = b2 + c2 - 2bc cos a b2 = a2 + c2 - 2ac cos b c2 = a2 + b2 - 2ab cos g

Dal teorema di Carnot, possiamo ricavare gli angoli di un triangolo, conoscendone i tre lati. Ad esempio dalla relazione a2 = b2 + c2 - 2bc cos a possiamo ricavare e quindi a, poiché esiste un unico angolo compreso tra 00 e 1800 avente un dato coseno. Utilizzando il teorema di Carnot, possiamo risolvere un triangolo qualunqe, in due casi caso 1: dati due lati e l’angolo compreso caso 2: dati i tre lati

CASO 1: risoluzione di un triangolo dati b, c, a da cui si ricava b da cui si ricava g

CASO 2: risoluzione di un triangolo dati a, b, c da cui si ricava a da cui si ricava b da cui si ricava g

In questo ultimo caso il problema ha soluzione solamente se cos a, cos b, cos g sono compresi tra -1 ed 1, altrimenti non esiste alcun triangolo che ha i tre lati quelli dati. Vediamo ora un teorema che da la relazione tra un lato di un triangolo e l’angolo opposto.

Consideriamo un triangolo acutangolo ABC Consideriamo un triangolo acutangolo ABC. Tracciamo l’altezza CH, di lunghezza h e consideriamo i triangoli rettangoli ACH e CHB; risulta che: h = a sen β e h = b sen α, ma allora: a sen β = b sen α, cioè Si può certamente estendere questo discorso anche al lato c (basta girare la figura e considerare a come base).

Teorema dei seni Abbiamo così ottenuto il In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo. A C B b c a g

Il teorema dei seni ci consente di risolvere un triangolo dato un lato e i due angoli ad esso adiacenti.

CASO 3: risoluzione di un triangolo dati c, a, b poiché a + b + g = 1800 dal teorema dei seni dal teorema dei seni

RISOLUZIONE DEI PROBLEMI I teoremi del seno e del coseno ci permettono di risolvere i problemi introdotti precedentemente. ESERCIZIO 1 : Il problema della guida radar del missile. RA = 12 km RM = 20 km ARM = 65° Per calcolarci la distanza AM = b, si fa uso della formula b²=a²+c²-2ac cos β, sostituendo i valori noti si ottiene: b²=12²+20²-2*20*12cos 65°, svolgendo i calcoli si trova: b ≈ 18,47km. Essendo noti tutti i lati e un angolo è ora possibile determinare l’angolo γ, che individua la rotta da seguire per raggiungere il bersaglio A : ovvero Quindi sen γ = 0,589 ossia γ=36°.

ESERCIZIO 2 : Il problema di determinare la posizione di una nave a partire dai dati di due radio goniometri è schematizzato in figura dal triangolo ABN. AB = c = 400 km; α = 50°; β = 110° si vogliono conoscere le lunghezze a e b. Osserviamo che noti α e β possiamo conoscere anche l’angolo γ = 180° - 110° - 50° = 20°. Noti tre angoli e un lato si può utilizzare il teorema dei seni: e quindi e quindi