OPTICS BY THE NUMBERS LOttica Attraverso i Numeri Michael Scalora U.S. Army Research, Development, and Engineering Center Redstone Arsenal, Alabama, & Universita' di Roma "La Sapienza" Dipartimento di Energetica Rome, April-May 2004

Integrazioni Numeriche di Equazioni differenziali di Primo Grado Soluzione Numeriche di Equazioni Nonlineari: Predictor-Corrector Algorithm

Ritorniamo alla tipica equazione differenziale di primo grado che abbiamo gia visto, e risolviamo. La soluzione puo anche essere espressa cosi: p(t) Lintegrale rappresenta larea sotto la curva p(t). Il problema numerico: come meglio stimarla 0 t

Se ci limitiamo ad intervalli infinitesimali... Dato un punto di partenza diverso da zero La funzione p(t) puo essere approssimata come una costante data dal valore allinizio dellintervallo...

} } Taylor expansion dellesponenziale La soluzione approssimata e… …mentre la soluzione esatta e… Il confronto rivela un errore dato dalla differenza delle due soluzioni…

Stimato con un errore dellordine t 2, lintegrale e larea del rettangolo. invece rappresenta la sottostima dellintegrale, che per funzioni che variano rapidamente puo essere notevole. t p(t 0 ) } }

t p(t 0 + t) } How can we increase the accuracy of the solution? +

Solve for p(t 0 + t)…

Nella gran parte dei casi, una soluzione con un errore del terzo ordine e piu che sufficiente. Taylor expansion confrontando con la soluzione esatta...

Simple example: First order accurate solution Second order accurate solution Exact solution

x(0)=1 First order solution Second order solution

x(0)=1

First order solution Second order solution

t f [x(t 0 )] f [x(t 0 + t)] Lets look at the more generic equation…

t f [x(t 0 )] f [x(t 0 + t)] …quindi rappresenta un punto al centro dellintervallo, che stima larea con accuratezza al secondo ordine.

Soluzione esatta… Risolviamo numericamente… Example

Per semplicita, riscriviamo cosi…. …e sostituiamo x sul lato destro…

Confrontiamo con unespanzione di Taylor…

La soluzione e accurata al secondo ordine, ma la procedura non e ne conveniente, (come nel caso di equazioni nonlineari:) o efficiente, se si devono calcolare derivate per lespanzione di Taylor:

Invece, adottiamo il Predictor-Corrector algorithm (1)Prediction Step: obtain a First-Order solution at t 0 + t…

(2)…and use it to c orrect (or find) the solution by averaging the values of the functions at the beginning and at the end of the interval… t

…which is just a Taylor expansion for ANY function Therefore, the correction step… …always finds a second order accurate (error is of order t 3 ) solution to the generic differential equation

Back to our example…

Predictor-Corrector da una soluzione accurata al secondo ordine

Sommario Integrazioni Numeriche di Equazioni differenziali di Primo Grado Soluzione Numeriche di Equazioni Nonlineari: Predictor-Corrector Algorithm PC method da soluzioni accurate al secondo ordine cioe lerrore e del terzo ordine: basta nella maggior parte dei casi.