Intersezioni e distanze Daniele Marini

Definizioni utili raggio r(t) semiretta dotata di origine e direzione (solitamente la direzione è normalizzata) superfici: implicite e esplicite implicite: f(p)=0 - es: x2+y2+z2-r2=0 dato il punto p si valuta se appartiene alla superficie risolvendo l’equazione (se =0) esplicite: f(u,v)=(fx(u,v),fy(u,v),fz(u,v)) - es: f(a,b)=((r sina cosb), (r sina sinb), (r cosb))

Rette dato un punto p =(x0,y0,z0) per cui passa la retta, la sua forma parametrica è: r(t)=p+td dove d è la direzione (vettore normalizzato) e t il parametro, per t>0 abbiamo una semiretta (tipicamente il raggio) le componenti:

Bounding volume si definiscono tre tipi di bounding volumes: AABB, OBB, k-DOP AABB axis aligned bounding box, un parallelepipedo con le facce parallele ai piani coordinati, si definisce con due valori estremi amin, , amax amin amax

OBB oriented bounding box è un AABB ruotato rispetto agli assi principali, si può definire con un centro e tre vettori normalizzati che descrivono le direzioni dei lati k-DOP discrete oriented polytope definito da k/2 vettori normalizzati con associati due valori scalari per definire una porzione di piano; in pratica definiscono un poliedro

Bounding sfera Si utilizza anche la sfera come volume di contenimento lo studio delle intersezioni con i BV è essenziale per l’efficienza

Intersecare rette usato in ray tracing / ray casting usato per calcolare collisioni il raggio è una semiretta, con direzione data, e un punto di applicazione la retta è specificata con coseni direttori e un punto da cui passa

la distanza di un punto q dalla retta r si ottiene proiettando q su r e valutando la norma: q-p d (q-p)-w p w r

Intersezione con segmenti segmento per due punti (vettore): il calcolo della intersezione di un raggio con tutti gli oggetti di una scena può essere molto costoso, si riduce sfruttando boundig volumes caso più semplice di BV è la sfera

Intersezione con una sfera raggio in forma parametrica (vettore): sfera con centro in (l,m,n) e raggio r:

sostituendo nell’equazione della circonferenza x,y,z (vediamo solo x):

la forma quadratica generale è quindi: da risolvere come equazione di II grado; se il determinate è <0 non ci sono intersezioni, se =0 il vettore è tangente, se >0 due intersezioni, e le radici t1,t2 danno il punto di entrata e di uscita del raggio i,j,k sono le differenze (x2-x1) ecc. non sono coseni direttori !

si ricava anche la normale alla sfera nel punto di intersezione (tangenza):

le intersezioni “dietro” non interessano per accelerare il calcolo si valuta prima il test di rifiuto rejection test le intersezioni “dietro” non interessano si valuta il vettore origine_raggio-centro_sfera, se ne calcola il modulo l2, se < r2 l’origine è interna alla sfera il raggio interseca certamente, se ci interessa solo questo si termina (es: picking) altrimenti si procede) si calcola la proiezione del vettore sul raggio, se <0 e se l’origine è esterna allora la sfera è dietro al raggio e si termina altrimenti si calcola la distanza al quadrato dal centro sfera alla proiezione del vettore sul raggio m2 se > r2 il raggio non colpisce la sfera altrimenti si calcola l’intersezione

fare figura

Intersezione raggio triangolo (poligono) 3 passi: determinare il piano su cui giace il triangolo determinare l’intersezione piano-raggio valutare se e’ interna al triangolo (poligono) usata anche per clipping, i raggi in questo caso sono i bordi del poligono e il piano è uno dei piani del frustum di visione; trovate tutte le intersezioni si genera un nuovo poligono

Determinare il piano equazione del piano: Ax+By+Cz+D=0 A,B,C sono le componenti della normale al piano il prodotto vettore tra due vettori identifica la normale dati due lati V, W del triangolo calcoliamo la normale: dove i,j,k sono i versori, quindi A,B,C sono: D si ottiene sostituendo un vertice del poligono nell’equazione (un punto che giace nel piano)

Intersezione raggio / piano si sostituisce x,y,z dalla equazione parametrica del raggio: se t<0 il raggio è nel semispazio che non contiene il poligono se il denominatore = 0 raggio e piano sono paralleli; per verificare se il raggio è nel semispazio che non contiene il poligono basta testare il segno del numeratore: se > 0 è esterno

Casi negativi raggio esterno al semispazio che contiene il poligono: t<0 raggio parallelo al piano del poligono: denominatore = 0 nel semispazio esterno al poligono: numeratore >0 raggio esterno esterno interno interno

Test di appartenenza del punto nei casi “positivi” si verifica se l’intersezione col piano cade nel poligono (triangolo) metodo diretto: se interno la somma degli angoli dal punto ai vertici è 360°

il metodo diretto è costoso, se il punto è su un bordo dà errore, non si può valutare se il poligono è orientato “back face” rispetto alla direzione del raggio (può interessare solo la prima intersezione con un poliedro) algoritmo di Haines: (inizializza tnear come minimo valore negativo e tfar come massimo positivo) if piano-è-back-face and (t<tfar) then tfar=t if (piano-è-front-face) and (t>tnear) then tnear=t if (tnear>tfar) then exit (raggio non interseca)

fare figura

Intersezione con OBB si considerano a turno coppie di piani paralleli determinando tnear e tfar si conserva nel confronto tnear maggiore e tfar minore se il massimo tnear è maggiore del minimo tfar non c’è intersezione

tnear tfar tnear tfar tnear tnear tfar tfar