Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 3 Derivata di una funzione

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Derivata Dove interviene: andamento del rapporto della variazione di una grandezza rispetto alla variazione di un’altra (da cui la prima dipende).

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Siamo interessati alle posizioni limite: proprietà “puntuale”.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Definizione. Sia f : I → R, I intervallo di R, e sia x 0 ∈ I un punto interno a tale intervallo. Se esiste finito il limite la funzione detta derivabile in x 0. Tale limite (finito o no) prende il nome di derivata della funzione f nel punto x 0, e viene indicato con f(x 0 ). Notazioni. La derivata di f in x 0 può essere indicata in modi differenti tra cui Calcolo. Ragionevolmente il calcolo della derivata coinvolge una forma indeterminata del tipo 0/0. Se scriviamo x = x 0 +h, si ottiene la definizione equivalente che potrebbe risultare più conveniente.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Equazione retta tangente. Sia f : I → R, x 0 ∈ I, derivabile in x = x 0. La retta tangente Tx 0 nel punto (x 0, f(x 0 )) ha equazione Se f’(x 0 ) = +  (  ), possiamo considerare la retta tangente di equazione x = x 0.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Esempio di non derivabilità. Consideriamo la funzione valore assoluto f(x) = |x|, x ∈ R, e x 0 = 0; si ha Sappiamo che quest’ultimo limite non esiste, quindi f non ha derivata in x 0 e non è derivabile in questo punto. Derivata e operazioni. La derivata è compatibile con le operazioni aritmetiche elementari, per esempio se f, g sono due funzioni definite in un intervallo I e derivabili in x 0 ∈ I, allora la funzione f + g è derivabile in x 0 e

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Attenzione: Per il prodotto e il quoziente vi sono regole “complicate” Due risultati importanti. Teorema 3.1 (Derivata della funzione composta) Se f è definita in un intorno di x 0 e derivabile in x 0, se g è definita in un intorno di f(x 0 ) e derivabile in f(x 0 ) allora la funzione composta g ⃘ f (supponendo di essere nelle condizioni di poterla definire) è derivabile in x 0 e Teorema 3.2 (Derivata della funzione inversa) Sia f : (a, b) → R una funzione continua e strettamente monotona, se f `e derivabile in x 0 e f(x 0 ) = 0, allora f -1 è derivabile in f(x 0 ) e vale la formula

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Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Importanza della derivata Proprietà locali (un punto e un suo intorno); proprietà globali (intervalli) Proprietà locali Definizione 3.1 Sia f : I → R, I intervallo, x 0 ∈ I interno ad I, diremo che a) f è crescente in x 0 se esiste un intorno di x 0 contenuto in I tale che f(x 1 ) ≤ f(x 0 ) ≤ f(x 2 ) per tutti i punti x 1 < x 0 < x 2 nell’intorno; b) f è decrescente in x 0 se esiste un intorno di x 0 contenuto in I tale che f(x 1 ) ≥ f(x 0 ) ≥ f(x 2 ) per tutti i punti x 1 < x 0 < x 2 nell’intorno; c) x 0 è un punto di minimo locale se esiste un intorno di x 0 contenuto in I tale che f(x) ≥ f(x 0 ) per tutti i punti x nell’intorno; d) x 0 è un punto di massimo locale se esiste un intorno di x 0 contenuto in I tale che f(x) ≤ f(x 0 ) per tutti i punti x nell’intorno.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Teorema 3.3 (Derivata e proprietà locali) Sia f : I → R, I intervallo, x 0 ∈ I e interno a I, f sia derivabile in x 0, allora i) se f(x 0 ) > 0 (< 0) allora f è crescente (decrescente) in x 0 ; ii) se f è crescente (decrescente) in x 0 allora f(x 0 ) ≥ 0 (f(x 0 ) ≤ 0); iii) se x0 è un punto di minimo o di massimo locale, allora f(x 0 ) = 0.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Osservazione: (Massimi e minimi) Sia f : I → R, I intervallo, ed f sia continua in I. Per trovare eventuali punti di minimo o di massimo locale (o assoluti) dobbiamo controllare tre categorie di punti, estremi dell’intervallo I se questi vi appartengono; punti di I in cui f non è derivabile; punti stazionari interni, cioè punti in cui f(x 0 ) = 0. Proprietà globali Domanda principale: “Cosa dice f riguardo a f?”

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Teorema 3.4 (Teorema di Rolle) Sia f : [a, b] → R una funzione definita nell’intervallo chiuso [a, b] e tale che f è continua in [a, b]; f è derivabile in (a, b); f(a) = f(b); allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che f(c) = 0.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Teorema 3.5 (Teorema di Lagrange o del valor medio) Sia : [a, b] → R una funzione definita nell’intervallo chiuso [a, b] e tale che f è continua in [a, b]; f è derivabile in (a, b); allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che Osservazione: i Teoremi di Rolle e di Lagrange sono Teoremi di esistenza, non dicono nulla riguardo all’unività.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Teorema 3.6 (Derivata e monotonia) Sia f : [a, b] → R una funzione continua nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabile in (a, b), allora i) se f(x) > 0, ∀ x ∈ (a, b) allora f è strettamente crescente in [a, b]; ii) se f(x) < 0, ∀ x ∈ (a, b) allora f è strettamente decrescente in [a, b]; iii) se f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a, b) allora f è non decrescente in [a, b]; iv) se f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a, b) allora f è non crescente in [a, b].

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Test della derivata prima Teorema 3.7 Sia f : (a, b) → R una funzione continua in (a, b), sia x 0 ∈ (a, b) un punto stazionario, f(x 0 ) = 0, oppure un punto singolare, ∃ f(x 0 ). i) Se f è derivabile negli intervalli (a, x 0 ) e (x 0, b), e f(x) > 0, x ∈ (a, x 0 ), f(x) < 0, x ∈ (x 0, b), allora f ha un punto di massimo locale in x 0. ii) Se f è derivabile negli intervalli (a, x 0 ) e (x 0, b), e f(x) 0, x ∈ (x 0, b), allora f ha un punto di minimo locale in x 0.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Derivata e convessità Convessità. Sia f : I → R, con I intervallo, la funzione f si dice convessa (concava) se per ogni coppia di punti x1 < x 2 ∈ I il segmento di estremi P 1 (x 1, f(x 1 )), P 2 (x 2, f(x 2 )) non sta sotto (sopra) del grafico di f per x ∈ [x 1, x 2 ]. Definizione 3.2 Sia f : I → R, con I intervallo, se per ogni x 1 < x 2 nell’intervallo I e per ogni t ∈ (0, 1) si ha i) f(x 1 + t(x 2  x 1 )) ≤ f(x 1 ) + t(f(x 2 )  f(x 1 )) allora la funzione è convessa; ii) f(x 1 + t(x 2  x 1 )) < f(x 1 ) + t(f(x 2 )  f(x 1 )) allora la funzione è strettamente convessa; iii) f(x 1 + t(x 2  x 1 )) ≥ f(x 1 ) + t(f(x 2 )  f(x 1 )) allora la funzione è concava; iv) f(x 1 + t(x 2  x 1 )) > f(x 1 ) + t(f(x 2 )  f(x 1 )) allora la funzione è strettamente concava.

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Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Derivata e convessità Sia f : [a, b] → R, derivabile in tutto l’intervallo (a, b) e continua in tutto il dominio, valgono le proprietà, i) f è convessa (concava) in [a, b] se e solo se f è non decrescente (non crescente) in (a, b); ii) f è convessa (concava) se e solo se f(x) ≥ f(x 0 ) + f(x 0 )(x  x 0 ) ∀ x, x 0 ∈ (a, b), (la disuguaglianza è di verso opposto nel caso di concavità). Diversi problemi richiedono la ricerca di un punto di minimo (o di massimo) per una funzione che lega i parametri del problema stesso: dobbiamo risolvere un problema di ottimizzazione. (Vedere gli esempi alla fine del Capitolo 3).