Gli Insiemi

Un insieme è un raggruppamento di elementi. Gli Insiemi Un insieme è un raggruppamento di elementi. Ci sono insiemi i cui elementi non sono facilmente individuabili: l’insieme delle rose più profumate; l’insieme dei ragazzi più studiosi; l’insieme dei giochi più divertenti.

Un insieme è un raggruppamento di elementi. Gli Insiemi Un insieme è un raggruppamento di elementi. Ci sono insiemi i cui elementi sono invece facilmente individuabili: l’insieme delle città italiane; l’insieme dei professori della tua classe; l’insieme dei tuoi libri scolastici.

Gli Insiemi Le città: «Bari, Brindisi, Foggia, Lecce, Taranto» rappresentano un insieme matematico poiché gli elementi dell’insieme sono elencati uno per uno con il loro nome.

Gli Insiemi «I calciatori della Roma» rappresentano un insieme matematico poiché è chiaramente definita la “proprietà” che consente di stabilire, senza possibilità di equivoci, se un elemento appartiene all’insieme.

Gli Insiemi Un insieme matematico è un raggruppamento di elementi definibili con precisione. Quali, tra i seguenti, sono insiemi matematici? L’insieme delle vocali; L’insieme delle vie più belle di Roma; Terni, Perugia; L’insieme delle squadre di calcio della serie A; L’insieme delle torte più buone.

Rappresentazione degli insiemi Gli insiemi vengono indicati con una lettera maiuscola dell’alfabeto: A B C D … , mentre gli elementi che appartengono all’insieme vengono indicati con le lettere minuscole: a,b,c,d …

Rappresentazione degli insiemi Un insieme si può rappresentare in tre modi: per elencazione; per caratteristica; rappresentazione grafica.

Rappresentazione degli insiemi Elencazione Per rappresentare un insieme per elencazione si scrive la lettera maiuscola con la quale si vuole indicare l’insieme, seguita dal segno uguale (=) e da una parentesi graffa; all’interno di questa sono contenuti tutti gli elementi dell’insieme, separati uno dall’altro da una virgola. A = { a, e, i, o, u } B = { 0, 2, 4, 6, 8 } C = { cane, gatto, topo }

Rappresentazione degli insiemi Caratteristica Per rappresentare un insieme in forma caratteristica si usa scrivere all’interno della parentesi graffa la proprietà che caratterizza gli elementi dell’insieme. A = {x/x è una lettera della parola “cane” } B = { x/x è una cifra dispari } C = { x/x è capitale europea } La barretta “/” si legge: «tale che»

Rappresentazione degli insiemi Grafica Per rappresentare un insieme in forma grafica si utilizzano i diagrammi di Eulero–Venn. Essi sono formati da una linea chiusa, che delimita una parte di piano, all’interno della quale si segnano gli elementi dell’insieme con un puntino seguito dal nome.

L’appartenenza ad un insieme Considera l’insieme delle vocali dell’alfabeto: Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si usa il simbolo ∈ e quindi si scrive a ∈V e si legge: « a appartiene a V ».

L’appartenenza ad un insieme La consonante « m » ovviamente non appartiene a V : Per indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si usa il simbolo ∉ e quindi si scrive a ∉ V e si legge: « a non appartiene a V ».

Insiemi finiti, infiniti, vuoti Considera l’insieme dei numeri naturali. Quanti sono i suoi elementi? Quando un insieme è costituito da un numero illimitato di elementi, si dice infinito.

Insiemi finiti, infiniti, vuoti Considera l’insieme delle province del Lazio. Quante sono? Quando un insieme è costituito da un numero limitato di elementi, si dice finito.

Insiemi finiti, infiniti, vuoti Considera l’insieme dei mesi con 32 giorni. Quanti sono? Se un insieme è privo di elementi si dice vuoto e si indica con il simbolo: ∅ oppure { } .

Sottoinsiemi Considera l’insieme degli alunni di una prima media, che indichiamo con A, e l’insieme degli alunni della stessa classe che portano gli occhiali, che indichiamo con B.

Sottoinsiemi Rappresentiamo i due insiemi per caratteristica: A = {x / x è un alunno di una classe di prima media}; B = {x / x è un alunno di una classe di prima media che porta gli occhiali} .

Sottoinsiemi È evidente che gli elementi dell’insieme B sono anche elementi dell’insieme A. Si dice allora che l’insieme B è “contenuto” nell’insieme A.

Sottoinsiemi Ogni volta che un insieme B è contenuto in un insieme A si dice che B è un sottoinsieme di A e si scrive:

Sottoinsiemi La scrittura si legge «B è incluso (o contenuto) in A» oppure «B è sottoinsieme di A»

Sottoinsiemi La scrittura si legge «B non è incluso (o non è contenuto) in A» oppure «B è non sottoinsieme di A»

Sottoinsiemi Considera gli insiemi A, B, C. della figura. Cosa puoi dire circa la loro inclusione o la non inclusione?

Sottoinsiemi Un insieme B si dice sottoinsieme dell’insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A.

Intersezione Considera gli insiemi: A= {x/x è un mammifero} B= {x/x è un animale che vive nell’acqua} La balena, il delfino, l’orca, …, sono mammiferi che vivono nell’acqua, sono cioè “elementi” appartenenti contemporaneamente sia all’insieme A sia all’insieme B.

Intersezione Se consideriamo l’insieme C formato da tutti i mammiferi che vivono nell’acqua, diremo che C è l’intersezione degli insiemi A e B.

Intersezione In simboli si scrive: dove il simbolo significa intersezione e si legge « l’insieme C è uguale ad A intersecato B »

Intersezione Dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali insiemi, e si scrive A B, quel nuovo insieme C formato dagli elementi comuni ad A e B.

Intersezione Considera i due insiemi: A= {x/x è un mammifero} B= {x/x è un insetto} Quali elementi hanno in comune gli insiemi A e B?

Intersezione I due insiemi non hanno elementi in comune, si dice che sono disgiunti, la loro intersezione è vuota.

Unione Dati i due insiemi: A= {x/x è una vocale dell’alfabeto} B= {x/x è una consonante dell’alfabeto} Se consideriamo l’insieme C formato da tutte le lettere dell’alfabeto (vocali e consonanti), diremo che è l’unione degli insiemi A e B.

Unione Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, e si scrive A UB, quel nuovo insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A e dagli elementi che appartengono a B presi una sola volta.

Unione Siano dati i due insiemi: A= {x/x è una lettera della parola “amo”} B= {x/x è una lettera della parola “more”} La loro unione sarà: = {x/x è una lettera della parola “amore”}

Insiemi equipotenti Siano dati i due insiemi: A= { a, e, i, o, u } B= {pollice, indice, medio, anulare, mignolo} Rappresentandoli con i diagrammi di Eulero-Venn:

Insiemi equipotenti Se colleghiamo gli elementi dell’insieme A con gli elementi di B, di cosa ci si accorge?

Insiemi equipotenti Ci si accorge che gli elementi dell’insieme A sono tanti quanti gli elementi dell’insieme B, cioè hanno la stessa potenza.

Insiemi equipotenti I due insiemi sono equipotenti. La potenza di un insieme si chiama cardinalità.

Insiemi equipotenti Il numero è il simbolo che esprime quanti sono gli elementi di un insieme e di ogni altro insieme a esso equipotente

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