Gruppo: Federica Vecchieschi, Chiara Salvatelli, Manuela Zampieri Esercizi di Psicometria Gruppo: Federica Vecchieschi, Chiara Salvatelli, Manuela Zampieri

Esercizio 1 Sia X ={Giovanni, Nicolò, Caterina, Lorenzo, Giulia, Barbara, Michela} un insieme di 6 persone con le seguenti caratteristiche: Giovanni:anni 30,psicologo Nicolò:anni 33,avvocato Caterina:anni 33,medico Lorenzo: anni 35,avvocato Giulia: anni 37,casalinga Barbara: anni 38,casalinga Michela: anni 40,medico definite in X².

Relazione 1 ◊ = “avere lo stesso sesso di” a. Rappresentazione per mezzo di tabella. ◊ Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela V

Relazione 1 b. Relazione in termini di coppie ordinate ◊={(Giovanni, Giovanni), (Giovanni, Nicolò), (Giovanni, Lorenzo), (Nicolò, Nicolò), (Nicolò, Giovanni), (Nicolò, Lorenzo), (Caterina, Caterina), (Caterina, Giulia), (Caterina, Barbara), (Caterina, Michela), (Lorenzo, Giovanni), (Lorenzo, Nicolò), (Lorenzo, Lorenzo), (Giulia, Caterina), (Giulia, Giulia), (Giulia, Barbara), (Giulia, Michela), (Barbara, Caterina), (Barbara, Giulia), (Barbara, Barbara), (Barbara, Michela), (Michela, Caterina), (Michela, Giulia), (Michela, Barbara), (Michela, Michela)}

: ◊ Relazione 1 c. Descrivere le principali proprietà e se sono relazione d’ordine o d’equivalenza. -Riflessiva -Simmetrica -Transitiva Quindi è una relazione d’equivalenza.

: ◊ Relazione 1 d. Rappresentare graficamente la struttura indotta da tale relazione sul dominio X. Caterina, Giulia, Barbara, Michela Giovanni, Lorenzo, Nicolò

Relazione 1 e. Costruire un sistema relazionale empirico e uno numerico dello stesso tipo e trovare almeno due omomorfismi e una funzione che non sia un omomorfismo tra loro. < X,”avere lo stesso sesso di” > < R,= > OMOMORFISMO 1 < X,“avere lo stesso sesso di”> F(x)=“associa 0 ai maschi e 1 alle femmine”

: ◊ Relazione 1 Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia 1 Barbara Michela 1 (Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni) = F1(Giovanni)) (Giovanni, Nicolò)→ (F1(Giovanni) = F2(Nicolò)) ……

< X,“avere lo stesso sesso di” > OMOMORFISMO 2 < X,“avere lo stesso sesso di” > F(x)=“associa la lettera finale A del nome delle femmine al numero 1 e le lettere finali I-O dei nomi dei maschi al numero 2” Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela 2 1 (Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni) = F1(Giovanni)) (Giovanni, Nicolò)→ (F1(Giovanni) = F2(Nicolò)) …..

< X,“avere lo stesso sesso di” > NON OMOMORFISMO < X,“avere lo stesso sesso di” > F(x)=“associa il numero 1 per il lavoro di psicologo, 2 per l’avvocato, 3 per il medico, 4 per la casalinga” (Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni) = F1(Giovanni)) (Giovanni, Nicolò)→ (F1(Giovanni) ≠ F2(Nicolò)) …… Michela Barbara Giulia Lorenzo Caterina Nicolò Giovanni 4 3 2 1

Relazione 2 & = “essere più giovane o avere la stessa età di” a. Rappresentazione per mezzo di tabella Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela V

Relazione 2 b. Relazione in termini di coppie ordinate. & = {(Giovanni, Giovanni), (Giovanni, Nicolò), (Giovanni, Caterina), (Giovanni, Lorenzo), (Giovanni, Giulia), (Giovanni, Barbara), (Giovanni, Michela), (Nicolò, Nicolò), (Nicolò, Caterina), (Nicolò, Lorenzo), (Nicolò, Giulia), (Nicolò, Barbara), (Nicolò, Michela), (Caterina, Caterina), (Caterina, Lorenzo), (Caterina, Giulia), (Caterina, Barbara), (Caterina, Michela), (Lorenzo, Lorenzo), (Lorenzo, Giulia), (Lorenzo, Barbara), (Lorenzo, Michela), (Giulia, Giulia), (Giulia, Barbara), (Giulia, Michela), (Barbara, Barbara), (Barbara, Michela), (Michela, Michela)}.

: & Relazione 2 c. Descrivere le principali proprietà e se sono relazioni d’ordine o di equivalenza: -Riflessiva -Transitiva -Connessa Quindi è una relazione d’ordine largo totale.

: & Relazione 2 d. Rappresentare graficamente la struttura indotta da tale relazione sul dominio X. → → → → → Nicolò ~ Caterina Giovanni Michela Lorenzo Barbara Giulia

Relazione 2 e. Costruire un sistema relazione empirico e uno numerico dello stesso tipo e trovare almeno due omomorfismi e una funzione che non sia un omomorfismo tra loro. < X,”essere più giovane o avere la stessa età di” > < R,≤ >

OMOMORFISMO 1 30 33 35 37 38 40 Giovanni V Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela (Giovanni, Giovanni) → (F1(Giovanni) ≤ F1 (Giovanni)) (Giovanni, Nicolò) → (F1(Giovanni) ≤ F2 (Nicolò)) ….. F = {(Giovanni,30), (Nicolò,33), (Caterina,33), (Lorenzo,35), (Giulia,37), (Barbara,38), (Michela,40)}

OMOMORFISMO 2 & = “essere più giovane di o avere la stessa età di” < = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (4,5), (4,6), (4,7), (5,6), (5,7), (6,7)} 1 2 3 4 5 6 7 V

1 2 3 4 5 6 7 Giovanni V Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela F = {(Giovanni,1), (Nicolò,2), (Caterina,2), (Lorenzo,4), (Giulia,5), (Barbara,6), (Michela,7)}.

NON OMOMORFISMO < X, “essere più giovane di o avere la stessa età di” > F(x) = “associa al nome il numero di lettere che compongono il nome” (Giovanni, Giovanni) → (F1(Giovanni)=F1(Giovanni)) (Giovanni, Nicolò) → (F1(Giovanni) non < F2(Nicolò)) Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela 8 7 6

Relazione 3 a. Rappresentazione per mezzo di tabella. = “avere lo stesso lavoro di” a. Rappresentazione per mezzo di tabella. Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela V

Relazione 3 b. Relazione in termini di coppie ordinate ={(Giovanni, Giovanni), (Nicolò,Nicolò), (Nicolò, Lorenzo), (Caterina, Caterina), (Caterina, Michela), (Lorenzo, Nicolò), (Lorenzo, Lorenzo), (Giulia, Giulia), (Giulia, Barbara), (Barbara, Giulia), (Barbara, Barbara), (Michela, Caterina), (Michela, Michela)}.

: Relazione 3 c. Descrivere la principali proprietà e se sono relazione d’ordine o d’equivalenza. -Riflessiva -Simmetrica -Transitiva Quindi è una relazione d’equivalenza.

: Relazione 3 d. Rappresentare graficamente la struttura indotta da tale relazione sul dominio X. Caterina, Michela Giovanni Nicolò, Lorenzo Giulia, Barbara

Relazione 3 e. Costruire un sistema relazionale empirico e uno numerico dello stesso tipo e trovare almeno due omomorfismi e una funzione che non sia un omomorfismo tra loro. < X,”avere lo stesso lavoro di” > < R,= > OMOMORFISMO 1 < X,“avere lo stesso lavoro di” > F(x)=“associa 0 ai maschi ed 1 alle femmine”

: Relazione 3 (Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni)=F1(Giovanni)) Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela 1 (Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni)=F1(Giovanni)) (Nicolò, Nicolò)→ (F2(Nicolò)= F2(Nicolò)) (Nicolò, Lorenzo) →(F2(Nicolò)=F3(Lorenzo)) …

< X,“avere lo stesso lavoro di” > OMOMORFISMO 2 < X,“avere lo stesso lavoro di” > F(x)= “associa il numero 1 per il lavoro di psicologo, 2 per l’avvocato, 3 per il medico, 4 per la casalinga” (Giovanni, Giovanni)→ (F1(Giovanni)=F1(Giovanni)) (Nicolò,Lorenzo)→ (F1(Nicolò) = F2(Lorenzo)) …… Michela Barbara Giulia Lorenzo Caterina Nicolò Giovanni 4 3 2 1

NON OMOMORFISMO < X, “avere lo stesso lavoro di” > F(x) = “associa al nome il numero di lettere che compongono il nome” (Giovanni, Giovanni) → (F1(Giovanni)=F1(Giovanni)) (Nicolò, Lorenzo) → (F1(Nicolò) ≠ F2(Lorenzo)) ….. Giovanni Nicolò Caterina Lorenzo Giulia Barbara Michela 8 7 6

Esercizio 2 Si verifichi se le funzioni: y = x y = x² y = log(x) da R+ a R sono degli omomorfismi con ciascuna delle seguenti strutture: a. < R+,≥ > e < R+,≥ > b. < R+,· > e < R,+ >

a. < R+,≥ > e < R+,≥ > E’ UN OMOMORFISMO Esempio: a) < R+,≥ > 3>2 y = x X Y 3 2 b)< R+,≥ > 3>2

a. < R+,≥ > e < R+,≥ > E’ UN OMOMORFISMO Esempio: a) < R+,≥ > 3>2 y = x² X Y 3 9 2 4 b)< R+,≥ > 9>4

a. < R+,≥ > e < R+,≥ > E’ UN OMOMORFISMO Esempio a) < R+,≥ > 3>2 y = logx y                                      x y 3 0.48 2 0.30 x x 1 2 x x x 1 3 4 b)< R+, ≥ > 0,48>0,30 X > X X >X F(X ) > F(X ) F(X ) > F(X ) 2 1 4 3 2 1 4 3

b. < R+,· > e < R,+ > NON E’ UN OMOMORFISMO Esempio b) < R+,· > 3•2=6 y=x x y 3 2 6 < R,+ > 3+2 ≠6

b. < R+,· > e < R,+ > NON E’ UN OMOMORFISMO Esempio b) < R+,· > 3•2=6 y=x² x y 3 9 2 4 6 36 < R,+ > 9+4≠36

b. < R+,· > e < R,+ > E’ UN OMOMORFISMO Esempio b) < R+,· > 3•2=6 y = logx (3,2,6) Є • (3,2,6) Є + y                                      x y 3 0.47 2 0.30 6 0.77 x 1 < R,+ > 0.47+0.30=0.77