Calcolo del limite Il limite destro e il limite sinistro
Discontinuità La funzione Non è definita per x=0 In x=0 Se x si avvicina a zero da destra, allora la funzione diventa sempre più grande Se x si avvicina a zero da sinistra, allora la funzione diventa sempre più grande, ma di segno negativo
Limite sinistro x M Per ogni M>0 esiste un intorno sinistro di zero I-(0,) tale che, se x I-(0,) allora f(x)<-M f(x) Questo
In generale… Definizione Sia f:(a,b) R una funzione e sia x0 un punto di accumulazione per (a,b) Se, per ogni M >0 esiste un intorno di x0 tale che, se x appartiene all’intorno, f(x) <-M (A.L.Cauchy) “Per ogni cosa che facciamo, esiste un bambino cinese di cinque anni che la fa in un tempo minore del nostro”
Limite destro di f(x) M x Per ogni M>0 esiste un intorno destro di zero I+(0,) tale che, se x I+(0,) allora f(x)>M Se questo accade , scriviamo
In generale Definizione Sia f : (a,b) R una funzione e sia x0 un punto di accumulazione per (a,b) Se, per ogni M >0 esiste un intorno destro di x0 tale che, se x appartiene all’intorno, f(x) >M (A.L.Cauchy) “Per ogni cosa che facciamo, esiste un bambino cinese di cinque anni che la fa in un tempo minore del nostro”
Calcolo dei limiti destro e sinistro 1. Tabella dei limiti notevoli 2. Sistema di regole 3. Teorema 1 Sia f : (a,b) R una funzione continua e sia x0 (a,b). Allora
Calcolo dei limiti Limiti notevoli Regola 1 Siano f,g : D R e sia x0 un punto di frontiera per D Allora a) b) Regola 3 Sia f : D R , g: (c,d) R e sia x0 un punto di frontiera per D , sia y0=f(x0) allora
Esercizio 1 posto Si ha E quindi
Esercizio 2 Regola 1a Regola 2+Teorema 1
Esercizio 3 posto Si ha Regola 1a Regola 2+ Teorema
Un metodo antico…. Gottfried Wilehm von Leibnitz Barone e matematico tedesco (1646-1716) “la vera ricchezza di un popolo risiede nelle capacità dei singoli di inventare” dx è una quantità infinitesima È un numero più piccolo di qualsiasi numero . FORTEMENTE CRITICATO, ma… Funziona!!!!, ma il perché nessuno è mai riuscito finora a saperlo