Teoria dei Circuiti Lez. 1

Funzioni di Rete Si consideri una rete lineare e tempo invariante a stato zero avente come ingresso un solo generatore di corrente o di tensione con andamento temporale arbitrario x( . ). Sia y( . ) la risposta* della rete dovuta all’ingresso x( . ). Si definisce funzione di rete H(s) la seguente espressione: Dove s è la frequenza complessa s=σ+jω , mentre X(s) e Y(s) sono rispettivamente la trasformata di Laplace di x( . )e y( . ) (X(s)=L{x( . )} e X(s)=L{x( . )}) *Dove per risposta si intende o una tensione ai capi di una coppia qualsiasi di nodi della rete o una corrente in un qualsiasi lato della rete

Tipi di Funzioni di Rete Autoimpedenza (risposta tensione, ingresso corrente entrambi riferiti alla stessa coppia di morsetti della rete) Autoammettenza (risposta corrente, ingresso tensione entrambi riferiti alla stessa coppia di morsetti della rete) Impedenza di trasferimento (risposta tensione, ingresso corrente riferiti a due divese coppie di morsetti della rete) Ammettenza di trasferimento (risposta corrente, ingresso tensione corrente riferiti a due divese coppie di morsetti della rete) Un rapporto di tensione di trasferimento (risposta tensione, ingresso tensione riferiti a due divese coppie di morsetti della rete) Un rapporto di corrente di trasferimento (risposta corrente, ingresso corrente riferiti a due divese coppie di morsetti della rete)

Autoimpedenza e Autoammettenza Poichè l’autoimpedenza e l’autoammettenza sono casi speciali di funzioni di rete, si può estendere la definizione di autoimpedenza (autoammettenza) di un bipolo come il rapporto tra la trasformata di Laplace della risposta di tensione (corrente) con stato zero e la trasformata di Laplace della corrente (tensione) di pilotaggio. Autoimpedenze (autoammettenze) notevoli Resistore: R (1/R) Induttore: sL (1/sL) Condensatore: 1/sC (sC) Osservazioni: Data la linearità della trasformata di Laplace, delle leggi di Kirchhoff e delle relazioni di lato (a stato zero) è facile dimostrare che le regole per combinare le le impedenze (ammettenze) sono le stesse a quelle che si applicano in regime sinusoidale, inoltre anche i metodi si stematici di analisi delle reti (nodi,maglia, etc…) si applicano allo stesso modo. L’analisi delle reti fatta utilizzando variabili trasformate secondo Laplace viene detta analisi nel domino della frequenza.

Esempi di funzioni di rete Autoimpedenza Autoammettenza Impedenza di trasferimento

Esempi di funzioni di rete Ammettenza di trasferimento Un rapporto di tensione di trasferimento Un rapporto di corrente di trasferimento

Proprietà generali delle funzioni di rete Le funzioni di rete sono funzioni razionali fratte nella variabile complessa s con coefficienti reali: I coefficienti a0, a1,…, an, b1,…, bm sono numeri reali in quanto ognuno è somma dei prodotti di resistenze, induttanze, capacità, etc..,e tali valori sono numeri reali. H(s) può essere anche scritta: K è un fattore di scala (reale); zi : zeri di H(s) ; pj: poli di H(s) Proprietà: Se Q(p)=0 con p=σ+jω => Q(σ-jω )=0 Se P(p)=0 con p=σ+jω => P(σ-jω )=0 Queste proprietà derivano dal fatto:

Poli e zeri e risposta in frequenza Sostituendo s con jω in una funzione di rete si ottiene H(jω) definita come il rapporto del fasore della risposta con quello dell’ingresso. Le curve di ampiezza e fase quando ω varia tra 0 e ∞ costituiscono la risposta in frequenza della funzione H(s). Osservazione: La conoscenza della la risposta in frequenza ci consente di calcolare la risposta a stato zero a qualunque ingresso.

Poli e zeri e risposta in frequenza (esempi)

Poli e zeri e risposta in frequenza (esempi)

Poli e zeri e risposta in frequenza (caso generale) In genere, si ha una funzione di rete razionale fratta con coefficienti reali. Per ottenere la risposta in fequenza: Si determinano I poli (pj) e gli zeri (zi) Si esprime ogni polinomio come prodotto di fattori del 1° ordine (nel caso in esame si è illustrata la procedura con una funzione di rete con tre zeri e 4 poli) Ponendo s=jω si ottengono:

Poli e zeri e risposta in frequenza (caso generale) Il guadagno: La fase:

Poli e zeri e risposta all’impulso L’antitrasformata di Laplace di una funzione di rete è la risposta all’impulso corrispondente. Illustreremo la relazione tra la posizione dei poli e degli zeri e la risposta all’impulso con due esempi. Il circuito RC parallelo Il circuito RLC parallelo

Poli e zeri e risposta all’impulso (RC parallelo)

Poli e zeri e risposta all’impulso (RLC parallelo)

Proprietà di simmetria delle funzioni di rete Sia H(s) una funzione di rete con coefficienti a0, a1, … , an, b0, … , bm reali Posto s=jω e raggruppando I termini si ha: Poichè I coefficienti dei polinomi sono reali si ha:

Proprietà di simmetria delle funzioni di rete Da cui ne deriva: La parte reale Re[H(jω)] e l’ampiezza di una funzione di rete |H(jω)| sono funzioni pari di ω; La parte immaginaria Im[H(jω)] e la fase ϕH(jω)(jω) di una funzione di rete sono funzioni dispari di ω.

Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza Si supponga che vIN(t)sia un generatore sinusoidale: Si può dimostrare che la conoscenza della funzione di rete H(s) valutata in jω permette di trovare il valore di vOUT(t)a regime.

Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza Dimostrazione

Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza

Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza

Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza

Sintesi Passiva RLC Si consideri F(s)=N(s)/D(s), si vuole determinare quando è possibile realizzare con solo componenti passivi RLC (e al massimo trasformatori M), cioè senza generatori pilotati né operazionali, una impedenza o una ammettenza con tali poli e zeri. Si possono individuare alcune condizioni necessarie e sufficienti ricavate per la prima volta da Otto Brüne. Teorema 1: Sia F(s) una funzione complessa in variabile complessa. Condizione necessaria e sufficiente affinchè F(s) sia fisicamente realizzabile è che F(s) sia positiva reale (PR).

Sintesi Passiva RLC Una funzione F(s) si definisce positiva reale (PR) se e solo se valgono le seguenti due condizioni: I. F(s) reale per s reale. Vuol dire che tutti i coefficienti che compaiono in F(s) devono essere numeri reali. II. Re[F(s)] ≥ 0 per Re[s] ≥ 0 Cioè un punto del primo semipiano destro finisce sempre nel secondo semipiano destro.

Sintesi Passiva RLC Se un bipolo è composto solo da RLC consegue che Z(s) è un PR e se Z(s) è un PR allora il bipolo corrispondente è composto solo da RLC. Dimostrazione RLC =>Z(s) è un PR Per Tellegen Se si considera il bipolo in figura si ha che:

Sintesi Passiva RLC Dove si sono evidenziati i contributi delle resistenze, degli induttori e dei condensatori contenuti all’interno del bipolo Inoltre Da cui

Sintesi Passiva RLC Teorema 2 Si è ottenuto che: Re[Z(s)] ≥ 0 se σ ≥ 0 come volevasi dimostrare. Nella definizione di una funzione PR sono nascoste le proprietà di passività e stabilità del circuito. La seconda condizione necessaria affinchè F(s) sia PR può quindi essere sostituita da condizioni sulla passività e stabilità del circuito. Teorema 2 F(s) reale per s reale Re[F(jω)] ≥ 0 per ogni ω (passività) Poli e zeri, cioè le singolarità, devono trovarsi nel semipiano sinistro aperto; se si trovano sull’asse immaginario devono essere semplici e con il residuo maggiore di zero (condizione sulla stabilità) Si definiscono polinomi di Hurwitz quei polinomi con parte reale delle radici negativa. Si dice che sono strettamente di Hurwiz se le singolarità sono nel semipiano sinistro aperto.

Esempi Metodo per determinare se Re[F(jω)] ≥ 0

Esempio Applicando la formula precedente si ha: Per la stabilità si sfruttano i polinomi di Hurwitz s+a = 0 => radice negativa se a > 0 s2+as+b =0 => radici negative se a > 0, b > 0 Determinare se le radici sono negative è più complicato quando l’ordine del polinomio è maggiore ouguale al terzo. Infatti la condizione che i coefficienti siano tutti maggiori di zero è sempre necessaria ma non più sufficiente.