Teorema derivabile almeno n volte (con n maggiore o uguale a 2) in x0 e sia x0 un punto stazionario per f tale che: allora: x0 è un pto di minimo relativo forte per f x0 è un pto di massimo relativo forte per f x0 non è un pto estremante per f
Esercizio Si studi la natura del punto stazionario per funzione La funzione è derivabile infinite volte in R
Esercizio Si studi la natura del punto stazionario per funzione La funzione è derivabile infinite volte in R
Funzioni convesse e concave f si dice convessa se il suo grafico ha la seguente proprietà: ogni segmento avente estremi su di esso non ha alcun punto al di sotto del grafico stesso convessa in senso stretto convessa in senso lato
Funzioni convesse e concave f si dice concava se il suo grafico ha la seguente proprietà: ogni segmento avente estremi su di esso non ha alcun punto al di sopra del grafico stesso concava in senso stretto convessa in senso lato
Funzioni convesse e concave f si dice convessa se equazione della retta passante per x1 e x2
Funzioni convesse e concave f si dice concava in (x1; x2) se equazione della retta passante per x1 e x2
Funzione convessa Funzione concava
Funzione convessa
È una funzione crescente qualsiasi sia x0
Teorema: è convessa (concava) se e solo se è crescente (decrescente) Implicazioni: ogni funzione convessa (concava) è continua in ogni intervallo I; ogni funzione convessa (concava) in un intervallo chiuso e limitato è limitata; se l’intervallo non è chiuso non si può dire nulla; nei punti di frontiera è possibile che la funzione presenti delle discontinuità;
Possibile presenza di discontinuità alla frontiera Se l’intervallo non è chiuso ma solo limitato la funzione potrebbe non essere limitata Possibile presenza di discontinuità alla frontiera
se è convessa in Non è detto però che esista Se però f è derivabile in x0 allora:
Implicazioni: se f è convessa (concava) e derivabile e x0 è stazionario allora è un punto di minimo (massimo) globale per f; se f è strettamente convessa (concava) l’eventuale punto di minimo (massimo) globale è unico; se la funzione non è strettamente convessa (concava) potrebbe presentare infiniti punti di minimo (massimo);
Teorema (condizione del primo ordine) è convessa (concava) se e solo se la sua funzione derivata prima è crescente (decrescente) nell’intervallo. Inoltre la convessità (concavità) è stretta se e solo se la monotonia della derivata prima è stretta. Teorema (condizione del secondo ordine) se f è due volte derivabile in I, condizione necessaria e sufficiente affinchè f sia convessa (concava) in I è che:
Definizione: una funzione derivabile in x0 appartenente all’intervallo (a; b); tale punto è detto di flesso della funzione f se:
Osservazione importante: è convessa (concava) se e solo se la sua derivata prima è crescente (decrescente); quindi se f è derivabile due volte in I e x0 è punto di flesso, allora x0 sarà punto di massimo (minimo) per la funzione derivata prima; in tali ipotesi il teorema di Fermat applicato alla funzione derivata prima garantisce che Teorema: derivabile due volte in I Nota bene: tale condizione non è sufficiente:
Teorema derivabile almeno n volte (con n maggiore o uguale a 2) in x0, punto interno all’intervallo; se allora: x0 è un punto di flesso per f Teorema derivabile almeno 2 volte.