Trigonometria
La misura degli angoli
La misura degli angoli Gradi sessagesimali Gradi centesimali Radianti
Il radiante è quell’arco che rettificato è uguale al raggio I radianti Il radiante è quell’arco che rettificato è uguale al raggio Un radiante è la misura di un angolo il cui arco corrispondente è lungo quanto il raggio della circonferenza cui l’arco appartiene.
I radianti α l r α : 360°= ρ : 2π
Le funzioni goniometriche P α O Q
Le funzioni goniometriche P’’ P’ P α O Q Q’ Q’’
Le funzioni goniometriche P’’ P’ P α O Q Q’ Q’’
Le funzioni goniometriche P’’ P’ P α O Q Q’ Q’’
Le funzioni goniometriche P’’ P’ P α O Q Q’ Q’’
La circonferenza goniometrica x y r=1 P r A α
Le funzioni trigonometriche x y OP=r=1 P A O α Q
Le funzioni trigonometriche x y OP=OA=r=1 B P A O α Q ≠0
Le funzioni trigonometriche x y OP=OC=r=1 C B P A O α Q
Angoli fondamentali x y OP=r=1 α=45°=π/4 P OQ=PQ α A O α Q
Angoli fondamentali P O A Q P’ y α=30°=π/6 OP=r=1 OP=PP’=OP’ PQ=OP/2 x 2α PQ=OP/2 O A α α Q 2α P’
Angoli fondamentali x y OP=r=1 α=60°= π/3 P 30° O α=60° A Q OQ=OP/2
Angoli complementari P’ P O A Q Q’ y OP=OP’=r=1 PQ=OQ’ OQ=P’Q’ x 90°-α
Angoli fondamentali x y OP=r=1 α=60°=π/3 P O α A Q
Angoli supplementari P’ P A O Q’ Q y OP=OP’=r=1 PQ=P’Q’ OQ=OQ’ x 180°-α A OQ=OQ’ α O Q’ Q
Angoli esplementari o opposti x y OP=OP’=r=1 PQ=P’Q P OQ 360°-α Q A α O -α P’
Angoli che differiscono di 90° x y OP=OP’=r=1 P’ PQ=OQ’ P 90°+α A α OQ=P’Q’ O Q’ Q
Angoli che differiscono di 180° x y OP=OP’=r=1 PQ=P’Q’ P 180°+α Q’ A OQ=OQ’ α O Q P’
Sinusoide α sin α π/6 1/2 π/4 √2/2 π/3 √3/2 π/2 1 π/2 < α < π π/6 1/2 π/4 √2/2 π/3 √3/2 π/2 1 π/2 < α < π sin (π/2+α)=sin (π/2-α) π π < α < 3π/2 sin (π+α)=-sin α 3π/2 -1 3π/2 < α < 2π sin (2π-α)=-sin α
cos (π/2+α)=-cos (π/2-α) Cosinusoide α cos α 1 π/6 √3/2 π/4 √2/2 π/3 1/2 π/2 π/2 < α < π cos (π/2+α)=-cos (π/2-α) π -1 π < α < 3π/2 cos (π+α)=-cos α 3π/2 3π/2 < α < 2π cos (2π-α)=cos α
Tangentoide α tan α π/6 √3/3 π/4 1 π/3 √3 π/2 Non definita π/6 √3/3 π/4 1 π/3 √3 π/2 Non definita π/2 < α < π tg (π/2+α)=-tg (π/2-α) π π < α < 3π/2 tg (π+α)=tg α 3π/2 3π/2 < α < 2π tg (2π-α)=-tg α
Coseno di una differenza di angoli x y AR=PQ AR=PQ Q =(cosα,sinα) R =(cos(α- β),sin(α-β)) α-β P =(cosβ,sinβ) α-β O β α A =(cos0,sin0)=(1,0)
Coseno di una differenza di angoli AR=PQ
Coseno di una somma di angoli
Seno di una somma di angoli Seno di una differenza di angoli
Seno di 2α Coseno di 2α
Tangente di una somma di angoli
Tangente di una differenza di angoli
Equazioni trigonometriche elementari x y cos α = q -1≤q≤1 -1<q<1 2 soluzioni: α, 2π-α (-α) P 2π-α A α -1 O 1 Q
Equazioni trigonometriche elementari x y cos α = q -1<q<1 2 soluzioni: α, -α q=1 1 soluzione: 0 P A -1 O 1
Equazioni trigonometriche elementari x y cos α = q -1<q<1 2 soluzioni: α, π-α q=1 1 soluzione: 0 A P π -1 O 1 q=-1 1 soluzione: π
Equazioni trigonometriche elementari cos α = q x y -1<q<1 2 soluzioni: α, -α 1 q=1 1 soluzione: 0 A q=-1 1 soluzione: π O q>1 Nessuna soluzione Nessuna soluzione -1 q<-1
Equazioni trigonometriche elementari x y sin α = p 1 Q P -1≤p≤1 -1<p<1 2 soluzioni: α, π-α π-α A α O -1
Equazioni trigonometriche elementari x y sin α = p P 1 -1<p<1 2 soluzioni: α, π-α p=1 1 soluzione: π/2 π/2 A O -1
Equazioni trigonometriche elementari x y sin α = p 1 -1<p<1 2 soluzioni: α, π-α p=1 1 soluzione: π/2 A 3π/2 O p=-1 1 soluzione: 3π/2 P -1
Equazioni trigonometriche elementari sin α = p x y -1<p<1 2 soluzioni: α, π-α 1 p=1 1 soluzione: π/2 A p=-1 1 soluzione: 3π/2 O p>1 Nessuna soluzione Nessuna soluzione -1 p<-1
Equazioni trigonometriche elementari x y tg α = m 1 mR 2 soluzioni: α, π+α P π+α A α ATTENZIONE: α≠π/2 α≠3π/2 O Q -1
Equazioni trigonometriche elementari
Equazioni trigonometriche elementari Esempi di applicazione Materiali idrofobici d α=33° α l
Equazioni trigonometriche elementari Esempi di applicazione Reticolo cristallino
Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari Equazioni risolubili mediante applicazione della legge di annullamento del prodotto
Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari Equazioni contenenti una sola funzione goniometrica
Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari Equazioni riconducibili ad una sola funzione goniometrica
Equazioni trigonometriche lineari in seno e coseno a≠0 b≠0 c=0 ≠0 perché altrimenti sinx=±1 e a=0 contro l’hp.
Equazioni trigonometriche lineari a≠0 b≠0 c ≠ 0
Equazioni trigonometriche lineari
Disequazioni trigonometriche elementari x y cos α < q -1≤q≤1 -1<q<1 Soluzione: α*<α<2π-α* P cos α = q 2π-α* A α* -1 O 1 Q
Disequazioni trigonometriche elementari x y cos α < q -1<q<1 Soluzione: α*<α<2π-α* q=1 Soluzione: 0<α<2π P A -1 O 1
Disequazioni trigonometriche elementari x y cos α < q -1<q<1 Soluzione: α*<α<2π-α* q=1 Soluzione: 0<α<2π A P -1 O 1 q≤-1 Nessuna soluzione
Disequazioni trigonometriche elementari x y sin α > p 1 Q P -1≤p<1 1 soluzione: α*<α<π-α* π-α* A α* O -1
Disequazioni trigonometriche elementari x y sin α > p 1 -1≤p<1 1 soluzione: α*<α<π-α* A p=-1 1 soluzione: 0<α<3π/2 U 3π/2<α<2 π O -1
Disequazioni trigonometriche elementari x y sin α > p 1 -1≤p<1 1 soluzione: α*<α<π-α* A p=-1 1 soluzione: 0<α<3π/2 U 3π/2<α<2 π p=1 Nessuna soluzione -1
Disequazioni trigonometriche elementari x y tg α > m 1 mR Soluzione: α*<α<π/2 U π+α*<α< 3π/2 P π+α* A α* O Q -1
Disequazioni trigonometriche elementari
Disequazioni trigonometriche di secondo grado Pongo cosx=t Pongo cosx=t t2<cosx<t1 t2<t<t1 t1 t2
Disequazioni trigonometriche di secondo grado x y t2<cosx<t1 R P β A α<x<β U 2π-β<x<2π-α α -1 O 2π-α 1 2π-β Q S
Disequazioni trigonometriche di secondo grado
Disequazioni trigonometriche lineari x y 1 α* P A O Q -1
Disequazioni trigonometriche lineari
Disequazioni trigonometriche