Valutazione delle opzioni Capitolo 22 Valutazione delle opzioni Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Argomenti trattati Metodo binomiale Modello di Black e Scholes Modello di Black e Scholes e modello binomiale Il mercato delle opzioni in Italia Problemi di valutazione nelle opzioni Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli

Opzioni Un’opzione call sul titolo BMAS ha un prezzo di esercizio di € 80 e scade tra un anno. Il titolo BMAS quota correntemente a € 80. Caso 1 L’azione scende a € 60 Payoff dell’opzione = € 0 Caso 2 L’azione sale a € 106.67 Payoff dell’opzione = € 26,67 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Opzioni Assumete di acquistare 4/7 dell’azione BMAS e di prendere a prestito 32,65 dalla vostra banca (al tasso del 5% annuo). Caso 1 L’azione scende a € 60 Valore del portafoglio = = 4/7  60 – 32,65 (1.,05) = 0 Caso 2 L’azione sale a € 106,67 Valore del portafoglio = = 4/7  106,67 – 32,65(1,05) = 26,67 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Delta dell’opzione Il valore della call è: Call = 4/7  80 – 32,65 = 13,06 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Neutralità al rischio In un mondo di neutralità al rischio il ritorno atteso sull’azione sarebbe uguale al tasso risk-free, ossia 5%. Possiamo determinare le probabilità di aumento e diminuzione del prezzo dell’azione. Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Valore delle opzioni L’opzione su BMAS può allora essere valutata come: Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Pricing binomiale Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Metodo binomiale Esempio Prezzo = 36 s = 0,40 t = 90/365 D t = 30/365 Prezzo di esercizio = 40 r = 10% a = 1,0083 u = 1,1215 d = 0,8917 Pu = 0,5075 Pd = 0,4925 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Metodo binomiale P × U = 40,37 32,10 36 × 1 , 1215 = P 40 , 37 U 1 36 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Metodo binomiale P × U = P U 1 40,37 32,10 36 × 1 , 1215 = 40 , 37 36 P × D = P D 1 36 × 0, 8917 = 32, . 10 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Metodo binomiale 50,78 = prezzo 40,37 32,10 25,52 45,28 36 28,62 40,37 32,10 36 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Metodo binomiale 50,78 = prezzo 10,78 = valore intrinseco 40,37 0,37 32,10 25,52 45,28 36 28,62 40,37 32,10 36 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Metodo binomiale 50,78 = prezzo 10,78 = valore intrinseco 40,37 0,37 32,10 25,52 45,28 5,60 36 28,62 Il maggiore tra 40,37 32,10 36 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Metodo binomiale 50,78 = prezzo 10,78 = valore intrinseco 40,37 0,37 32,10 25,52 45,28 5,60 36 0,19 28,62 40,37 2,91 32,10 0,10 36 1,51 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli Valutazione binomiale Possibili variazioni di prezzo per l’azione Unicredit nell’ipotesi che l’azione possa muoversi una sola volta verso l’alto o verso il basso ogni 4 mesi (a), due volte ogni 2 mesi (b) o 17 volte ogni settimana (c). Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Modello di Black e Scholes Dati componenti il prezzo dell’opzione Prezzo corrente dell’attività sottostante Prezzo di esercizio Scarto quadratico medio del tasso di rendimento all’azione (capitalizzato nel continuo) Durata dell’opzione Tasso di interesse annuo Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Modello di Black e Scholes OC = [N(d1)x P] – [N(d2) x (EX) e-rt] dove Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Modello di Black e Scholes OC = Prezzo della call P = Prezzo dell’azione N(d1) = Funzione di probabilità cumulata normale di (d1) EX = Prezzo di esercizio N(d2) = Funzione di probabilità cumulata normale di (d2) r = tasso di interesse (tasso a 90 giorni effettivi e titoli negoziabili o tasso privo di rischio) t = durata dell’opzione (come % annua) v = Scarto quadratico medio del tasso di rendimento all’azione (capitalizzato nel continuo) Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Modello di Black e Scholes Esempio Considerati i seguenti valori, qual è il prezzo della call option? P = 36 r = 10% v = 0,40 S = 40 t = 90 giorni / 365 Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Binomiale vs. Black Scholes Esempio Qual è il prezzo di un’opzione call con le seguenti caratteristiche? P = 36 r = 10% v = 0,40 S = 40 t = 90 gg / 365 Binomiale = € 1,51 Black Scholes = € 1,70 Il numero limitato di nodi presi in considerazione dal nostro esempio produce questa differenza. All’aumentare dei nodi, il prezzo ottenuto con il metodo binomiale converge verso il prezzo ottenuto con la formula di Black Scholes. Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Binomiale vs. Black Scholes Il modello binomiale converge al prezzo prodotto dalla formula di B&S quando il numero di stadi tende ad infinito. Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3

Il mercato delle opzioni in Italia Trattate su: IDEM (dal 1995) prevalentemente per operatori specializzati MTA e SeDeX (dal 1998), covered warrant, prevalentemente per i piccoli investitori Esistono opzioni su: Azioni, quotate in €, prevista la consegna fisica del sottostante Indici, quotate in punti indice, prevista la liquidazione in contanti Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli 3