Incontro Attuari Incaricati Vita Paolo De Angelis Università Sapienza – Studio ACRA Polizze Index Linked: le novità introdotte dal Regolamento dell’Isvap sul pricing, la gestione e le riserve matematiche PDA_Milano 18/11/2010

Argomenti Inquadramento normativo: Regolamento ISVAP n. 32: Parametri di riferimento e requisiti di ammissibilità Valore delle prestazioni e modalità di indicizzazione Portafogli finanziari di copertura e replicazione delle prestazioni Il modello attuariale per il premio e per le riserve matematiche: Dal modello pricing –based al modello benefit value-based L’option pricing e la replicazione delle prestazioni La riserva per il rischio di credito e per il rischio di liquidità Implicazioni operative e tecnologia di calcolo Normativa CONSOB: aspetti rilevanti PDA_Milano 18/11/2010

Art. 41 DLgs 209/2005 - Disciplina particolare delle riserve tecniche relative ad alcuni tipi di contratto Co. 2. Qualora le prestazioni previste in un contratto siano direttamente collegate ad un indice azionario o ad altro valore di riferimento diverso da quelli di cui al comma 1, le riserve tecniche relative a tali contratti debbono essere rappresentate con la massima approssimazione possibile dalle quote rappresentanti il valore di riferimento oppure, qualora le quote non siano definite, da attivi di adeguata sicurezza e negoziabilità che corrispondano il più possibile a quelli su cui si basa il valore di riferimento particolare. Co. 4. Qualora le prestazioni previste dai contratti di cui ai commi …. e 2 comprendano una garanzia di risultato dell'investimento o qualsiasi altra prestazione garantita, alle corrispondenti riserve tecniche aggiuntive si applica l'articolo 38. Co.5. L'ISVAP stabilisce, con regolamento39, disposizioni più dettagliate per l'individuazione delle categorie di attivi, che possono essere destinati a copertura delle riserve tecniche, e dei relativi limiti. PDA_Milano 18/11/2010

Regolamento n. 32_Titolo II Le prestazioni o i valori di riscatto possono essere collegati a : Indici azionari, Indici obbligazionari, Indici di inflazione Le prestazioni e i valori di riscatto non possono comunque in alcun modo essere collegati, direttamente o indirettamente, a indici o altri valori di riferimento relativi a merci, variabili climatiche, operazioni di cartolarizzazione effettuate anche in maniera sintetica, ovvero a derivati del credito. PDA_Milano 18/11/2010

Indici ammissibili e modalità di indicizzazione Art.4 Indici Azionari Requisiti azioni, negoziate su mercati regolamentati liquidi ed attivi di uno Stato appartenente all’OCSE; pubblici, comunemente utilizzati dalla comunità finanziaria e replicabili; caratterizzati da una adeguata diversificazione, in termini di numerosità e composizione relativa, delle azioni sottostanti; calcolati con cadenza giornaliera da soggetti terzi, indipendenti rispetto alle imprese di assicurazione e agli emittenti le azioni su cui sono costruiti; calcolati in base a criteri di determinazione oggettivi e predefiniti, resi disponibili agli interessati, che disciplinano anche le modalità di sostituzione o eliminazione di alcune delle azioni su cui sono costruiti; pubblicati su quotidiani di diffusione nazionale con cadenza giornaliera. NEGOZIABILITA’ REPLICABILITA’ PUBBLICITA’ OGGETTIVITA’ TRASPARENZA DIVERSIFICAZIONE DIFFUSIONE INFORMATIVA PDA_Milano 18/11/2010

Indici Obbligazionari Indici ammissibili e modalità di indicizzazione Art. 5 (Altri valori di riferimento ammissibili) Indici Obbligazionari Requisiti obbligazioni negoziate su mercati regolamentati liquidi ed attivi e soddisfano comunque i requisiti di cui all’articolo 7, comma 2, fatta eccezione per la lettera b); pubblici, comunemente utilizzati dalla comunità finanziaria e replicabili; adeguata diversificazione, in termini di numerosità e composizione relativa, delle obbligazioni sottostanti; calcolati con cadenza giornaliera da soggetti terzi, indipendenti rispetto alle imprese di assicurazione e agli emittenti le obbligazioni su cui sono costruiti; calcolati in base a criteri di determinazione oggettivi e predefiniti, resi disponibili agli interessati, che disciplinano anche le modalità di sostituzione o eliminazione di alcune delle obbligazioni su cui sono costruiti; pubblicati su quotidiani di diffusione nazionale con cadenza giornaliera NEGOZIABILITA’ REPLICABILITA’ PUBBLICITA’ OGGETTIVITA’ TRASPARENZA DIVERSIFICAZIONE DIFFUSIONE INFORMATIVA PDA_Milano 18/11/2010

DIFFUSIONE INFORMATIVA Indici ammissibili e modalità di indicizzazione Art. 5 (Altri valori di riferimento ammissibili Indici Inflazione Requisiti comunemente utilizzati dalla comunità finanziaria; calcolati periodicamente da enti o organismi statistici pubblici, nazionali e sovranazionali; chiaramente definita nelle condizioni di polizza la configurazione dell’indice; utilizzati a copertura delle relative riserve tecniche attivi aventi indicizzazione, durata, flussi finanziari, profili di liquidabilità e caratteristiche coerenti con i corrispondenti impegni contrattuali. A tali attivi si applicano le disposizioni sul merito di credito dell’ente emittente previste all’articolo 7.5. REPLICABILITA’ PUBBLICITA’ OGGETTIVITA’ TRASPARENZA DIFFUSIONE INFORMATIVA PDA_Milano 18/11/2010

Regolamento n. 32 _ Titolo II Modalità di indicizzazione Art. 6 Le modalità di indicizzazione agli indici azionari e agli altri valori di riferimento di cui agli articoli 4 e 5 devono essere semplici e soddisfare il requisito di agevole comprensibilità da parte del contraente. Il profilo di rischio assunto attraverso l’indicizzazione deve poter essere replicabile dall’impresa attraverso una gestione finanziaria che utilizzi solo posizioni d’investimento in acquisto non derivate. In ogni caso la modalità di indicizzazione non può determinare un rischio per i contraenti superiore a quello che può essere assunto dall’impresa ai sensi della normativa in materia di copertura delle riserve tecniche. PDA_Milano 18/11/2010

Il principio del portafoglio replicante Il valore di uno strumento finanziario (opzione, bond, derivato etc.) è uguale al valore di un portafoglio di attivi che replica esattamente lo stesso cash-flow in ogni scenario. Un Esempio, il caso di un mercato uniperiodale: 1 stock , prezzo 100 euro, stati di natura: 1= 120; 2=100 1 titolo free risk, prezzo 100 euro, stati di natura: 1=105; 2=105 1 opzione call sullo stock, strike price 104, stati di natura: 1= 16; 2= 0 PDA_Milano 18/11/2010

Approccio Risk Neutral vs. Real World Come calcolare il prezzo del derivato: Costruzione del portafoglio replicante tramite la condizione di assenza di arbitraggio: Fase 1: sistema di equazioni lineari 120 * a + 105 * b = 16 100 * a + 105 * b = 0 Fase 2: soluzioni: a = 0,8, b = -0,76 Fase 3: prezzo del derivato = prezzo del portafoglio replicante: Call = 100 * 0,8 – 100 * 0,76 = 3,81 PDA_Milano 18/11/2010

Approccio Risk Neutral vs. Real World Come calcolare le probabilità risk neutral: In un mercato risk neutral ogni titolo nell’unità di tempo ha un rendimento pari al tasso privo di rischio: Call = exp (- r T ) * [Prob.^ * CallUp + (1- Prob.^) * CallDown] Quindi, sostituendo i valori dell’esempio, e risolvendo rispetto a Prob.^: Prob.^ = 0,25 e (1- Prob.^) = 0,75 Prob.^ è una misura di probabilità risk neutral in quanto il prezzo di un qualsiasi titolo è uguale al valore medio (sotto Prob.^ ) dei payoff per ciascun stato di natura, scontati al tasso di interesse privo di rischio. PDA_Milano 18/11/2010

CAPITALE SOTTO RISCHIO>0 OPZIONI PUT EUROPEE IMPLICITE Regolamento n. 32 _ Titolo IV Rischio demografico e Margine di solvibilità Artt. 9 - 10 RISCHIO DEMOGRAFICO Presenza di un effettivo impegno dipendente dalla valutazione del rischio demografico CAPITALE SOTTO RISCHIO>0 Prestazioni caso morte che tengano conto del premio versato OPZIONI PUT EUROPEE IMPLICITE MARGINE DI SOLVIBILITA’ Misure ridotte ai fini della determinazione del margine di solvibilità nei casi di: Replicazione diretta degli impegni assunti Elevata diversificazione degli investimenti per Emittenti PDA_Milano 18/11/2010

Il modello di Pricing Passato Attualità DAL MODELLO PRICE-BASED \ = nozionale OS = prezzo unitario in t=0 OS = PUR mista ordinaria AL MODELLO BENEFIT VALUE- BASED v(0,k)= struttura prezzi a pronti = operatore di media risk-adjusted = payoff aleatorio prestazione = fattore sconto demografico = payoff deterministico prestazione PDA_Milano 18/11/2010

AMBIENTE TEORICO DI RIFERIMENTO La logica dell’Expected Present Value su scenari di payoff in un contesto riconducibile all’Option pricing Theory L’assenza di arbitraggio e linearità della funzione valore La distribuzione di probabilità dei payoff e il valore dello strumento finanziario L’argomento rischio neutralità per la semplificazione dei calcoli PDA_Milano 18/11/2010

IMPLEMENTAZIONE DI UN MODELLO DI PRICING: PASSI OPERATIVI Identificazione delle fonti di rischio Definizione dell’equazione della dinamica intertemporale delle fonti di rischio Scelta della tecnologia di calcolo: APPROCCIO ANALITICO APPROCCIO NUMERICO Scomposizione delle componenti di valore Stima dei parametri del modello Validazione del modello e dei parametri. PDA_Milano 18/11/2010

LA DINAMICA INTERTEMPORALE DELLE FONTI DI RISCHIO L’EQUAZIONE GENERALE LE VARIAZIONI INTERTEMPORALI DIPENDONO DA: UNA COMPONENTE DETERMINISTICA UNA COMPONENTE STOCASTICA MODELLI A PIU’ FONTI DI INCERTEZZA Componente Deterministica Componente Stocastica PDA_Milano 18/11/2010

Tecnologia per il Pricing di forme Index Linked PDA_Milano 18/11/2010

PARITA’PUT/CALL PER IL PRICING Scomposizione Call Fair Value del PAYOFF = Valore di mercato di uno ZCB/BULLET BOND + Valore di mercato di una Call sull’indice/paniere di riferimento Scomposizione Put Fair Value del PAYOFF = Valore di mercato dell’indice/paniere di riferimento + Valore di mercato di una Put sull’indice/paniere di riferimento PDA_Milano 18/11/2010

Il modello di Brennan & Schwartz Valore Garanzia in T Scomposizione Call Scomposizione Put essendo D = Premio unico k = (1 + r)T , r0 PDA_Milano 18/11/2010

Il modello di Brennan & Schwartz Valore Garanzia t = 0 Scomposizione Call Scomposizione Put PDA_Milano 18/11/2010

Il modello di Brennan & Schwartz Premio unico puro e riserva matematica di una Index nella forma di mista con garanzia di restituzione del premio PDA_Milano 18/11/2010

MODELLO DI PRICING E STIMA DEI PARAMETRI: Implicazioni operative Struttura per scadenza tassi di interesse Struttura per scadenza degli spreds creditizi Struttura per scadenza delle volatilità dei parametri finanziari e delle correlazioni Analisi delle serie storiche delle variazioni logaritmiche dell’indice/paniere di indici Stima della volatilità Storica Implicita Problemi di correlazione nella stima della volatilità dell’indice/paniere di indici PDA_Milano 18/11/2010

Modelli di Pricing: La tecnologia Modello discreto: Cox, Ross e Rubinstein ‏ Modello continuo: Black & Scholes ‏ PDA_Milano 18/11/2010

Il modello di Cox, Ross e Rubinstein (CRR)‏ Modello discreto basato sulla logica degli alberi binomiali. Si tratta di un diagramma ad albero su cui sono rappresentate le diverse traiettorie che può assumere il valore del sottostante ed il relativo prezzo dell’opzione durante la durata contrattuale. Nella sua definizione originale, su ogni sottointervallo dell’orizzonte temporale di investimento considerato, il prezzo può evolvere in due soli modi possibili. PDA_Milano 18/11/2010

Il modello CRR Definizioni valore iniziale del sottostante fattore di variazione “up” fattore di variazione “down” PDA_Milano 18/11/2010

Il modello CRR – Il caso uniperiodale A scadenza il valore del portafoglio formato da  parti di S ed una Call a debito deve avere lo stesso valore nel caso up e in quello down PDA_Milano 18/11/2010

Il modello di Black & Scholes –B&S Il mercato è privo di attriti. Il tasso di interesse a breve termine e la varianza del rendimento del sottostante sono quantità note e costanti . Non vengono distribuiti dividendi, Il prezzo del sottostante varia secondo una distribuzione di probabilità lognormale. PDA_Milano 18/11/2010

IL MODELLO B&S: facile da usare OPZIONE CALL: OPZIONE PUT PDA_Milano 18/11/2010

Simulazione stocastica e fondamenti statistici Il fondamento statistico del metodo Monte Carlo è il teorema del limite centrale, che assicura che la media di N v.a. indipendenti e identicamente distribuite si distribuisce in modo asintoticamente normale. Sia X1, X2, ….,Xn una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, per il teorema del limite centrale si ha: PDA_Milano 18/11/2010

Simulazione stocastica e fondamenti statistici Se identifichiamo la variabile Xi con il payoff del titolo derivato all’i-esima simulazione, si possono evidenziare i seguenti punti: Il prezzo del derivato è la media dei suoi payoff attualizzati ; La varianza del prezzo tende a zero all’aumentare del numero di simulazioni n; La varianza del prezzo tende a zero al diminuire di  (tecniche di riduzione della varianza). PDA_Milano 18/11/2010

Pricing – Il caso di una sola variabile sottostante osservata in un unico istante La valutazione neutrale al rischio impone che si sostituisca r a  Il caso di diverse variabili sottostanti. Per effettuare una simulazione occorre estrarre i numeri pseudo- casuali da una distribuzione multi-normale standardizzata. PDA_Milano 18/11/2010

RISCHIO DI CONCENTRAZIONE Regolamento n. 32 _ Titolo VII Sicurezza e negoziabilità degli attivi a copertura delle riserve tecniche Artt. 7 - 8 Rispetto del principio del close – matching attivo/passivo Impiego di titoli strutturati sono soddisfatte congiuntamente le seguenti condizioni: - sono emessi o garantiti da Stati appartenenti all’OCSE, da enti locali o da enti pubblici di Stati dello Spazio Economico Europeo …… - classe di rating almeno pari a quella contrassegnata dal simbolo “A-“ ……….. - non contengono clausole di subordinazione che attribuiscano all’attivo un grado inferiore nei pagamenti rispetto ad altri creditori. - negoziati su mercati regolamentati liquidi e attivi. Copertura mediante la combinazione di titoli obbligazionari e di strumenti finanziari derivati………… Deroga al requisito della negoziabilità su mercati regolamentati qualora il rischio di performance sia a carico dell’impresa e in presenza di clausole di riacquisto da parte dell’Emittente o altro Soggetto a condizioni prefissate. Condizioni meno restrittive in caso di acquisto diretto di quote rappresentanti gli indici o altri parametri di riferimento. RISCHIO DI CONCENTRAZIONE PDA_Milano 18/11/2010

Regolamento n. 32 _ Titolo V Modifiche regolamentari Art. 11 All’articolo 54 del Regolamento ISVAP n. 21 del 28 marzo 2008, dopo il comma 3 sono aggiunti i seguenti: “4. In ogni caso nella determinazione delle riserve tecniche l’impresa tiene conto di ogni fattore di rischio che possa influire sul grado di sicurezza e negoziabilità degli attivi e costituisce un accantonamento a fronte del rischio di credito e di liquidità. 5. Ai fini del comma 4 il tasso di interesse da utilizzare nelle valutazioni deve essere ridotto per tener conto di un margine prudenziale che rappresenti la compensazione per il rischio di credito e di liquidità degli attivi a copertura rispetto ad un analogo attivo privo di rischio.”. PDA_Milano 18/11/2010

I Credit Risk Models : il modello generale EXPECTED CREDIT LOSS (ECL) Parametri: Probability Density Function (PDF) Expected Default Frequency (EDF) Loss Rate Given Default (LGD) Loan Equivalent Exposure (LEE-EAD) ECL= EDF*LGD*LEE PDA_Milano 18/11/2010

I Credit Risk Models : impostazioni metodologiche degli Internal Models DEFAULT MODE MODELS: Modello a 2-stati di natura: default_no-default Approccio Media/Varianza (Markowitz [1952],Fama[1971,1973]) La correlazione per la diversificazione del rischio nell’ambito di portafogli crediti La determinazione di livelli di tolleranza statisticamente accettabili. MARKET CONSISTENT MODELS: Modello a n-stati di natura: matrice di transizione Approccio del DCF + credit spreads term structure Approccio risk neutral: finanziamento equivalente pricing contratti derivati sottostante l’asset del debitore (Merton [1974]). PDA_Milano 18/11/2010

PRICING ED INFORMATIVA AL RISPARMIATORE DISCIPLINA CONSOB: UMBUNDLING DELLE COMPONENTI DI VALORE E COSTO SCENARI PROBABILISTICI DI RENDIMENTO: VALUTAZIONE RISK NEUTRAL DISTRIBUZIONE D I PROBABILITA’ DEI RISULTATI DELL’INVESTIMENTO DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ DEI RISULTATI DEL DEPOSITO RISK F REE TABELLA DI CONFRONTO INDICATORE SINTETICO DEL GRADO DI RISCHIO: 6 CLASSI QUALITATIVE IN FUNZIONE DI CLASSI DI VOLATILITA’ INDICATORE QUALITATIVO DELLO STILE DI GESTIONE ATTIVO/PASSIVO ORIZZONTE TEMPORALE DI INVESTIMENTO CONSIGLIATO PDA_Milano 18/11/2010

Analisi Prodotto 1 Il rendimento è negativo 18,92% 27,92% 33,79%   Probabilità Best Save Best Mix Best Performance Il rendimento è negativo 18,92% 27,92% 33,79% Il rendimento è positivo, ma inferiore a quello di titoli obbligazionari privi di rischio con durata analoga a quella del prodotto 38,34% 27,42% 21,32% Il rendimento è positivo e in linea con quello di titoli obbligazionari privi di rischio con durata analoga a quella del prodotto 41,39% 38,91% 33,90% Il rendimento è positivo e superiore a quello di titoli obbligazionari privi di rischio con durata analoga a quella del prodotto 1,35% 5,75% 10,99% PDA_Milano 18/11/2010

Analisi Scenario Prodotto 1 PDA_Milano 18/11/2010

Analisi Prodotto 2 Il rendimento è negativo 0,00%   Probabilità Best Save Best Mix Best Performance Il rendimento è negativo 0,00% Il rendimento è positivo, ma inferiore a quello di titoli obbligazionari privi di rischio con durata analoga a quella del prodotto 26,17% 23,77% 22,71% Il rendimento è positivo e in linea con quello di titoli obbligazionari privi di rischio con durata analoga a quella del prodotto 72,62% 71,98% 68,82% Il rendimento è positivo e superiore a quello di titoli obbligazionari privi di rischio con durata analoga a quella del prodotto 1,21% 4,26% 8,47% PDA_Milano 18/11/2010

Analisi Prodotto 2 CNmax=97,5% PDA_Milano 18/11/2010

Principali Riferimenti Bibliografici Cherubini U., Della Lunga G. “Matematica Finanziaria: Applicazioni con Visual Basic per Excel” Milano, McGraw-Hill, 2002 Hull J.C., “Opzioni, Futures ed altri Derivati”, Milano, Il sole 24 Ore, 2003. ISVAP, Circolari, www.isvap.it Moriconi F. “Matematica Finanziaria”, Bologna, Il mulino, 1994. Pitacco E. “Matematica e Tecnica Attuariale delle Assicurazioni sulla Durata di Vita”, Trieste, Lint, 2000 PDA_Milano 18/11/2010