La geometria delle Trasformazioni secondo il modello di Felix Klein Relatore: Michelangelo De Lisi Copyright, 1996 © Dale Carnegie & Associates, Inc.

1. IMPORTANZA DELL’ INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA - struttura razionale, ma anche per la possibilità che essa offre di ricorrere al concreto e per le capacità intuitive che favorisce. - Fino al 1700 la geometria costituiva il punto di avvio di tutte le ricerche matematiche. - Nella seconda metà dell'Ottocento, dopo gli sviluppi della logica matematica, la geometria perde il suo posto di regina fra le scienze matematiche. Non costituisce più lo studio, sia pure idealizzato, del mondo reale; non è più nemmeno l'unica disciplina assiomatizzata. - Tuttavia la geometria non perde il suo valore intuitivo, costruttivo, manipolativo che costituisce il suo maggior pregio didattico.

2. LA GEOMETRIA PER TRASFORMAZIONI Dopo la scoperta delle geometrie non euclidee, sono stati individuati vari altri sistemi geometrici coerenti che hanno assunto, come tutti i sistemi matematici in generale, un aspetto sempre più chiaramente ipotetico- deduttivo perdendo il loro tradizionale riferimento a enti geometrici “esterni”. Possiamo allora chiederci cosa sia oggi effettivamente la geometria La ricerca di un’unità intrinseca che consenta una definizione di geometria abbastanza ampia da comprendere i sistemi accennati e tuttavia sufficientemente ristretta da escludere gli altri sistemi della matematica è stato l’obiettivo primario di Felix Klein (continua)

geometria è lo studio delle proprietà delle figure, che restano invariate quando su di esse si opera con un gruppo di trasformazioni. la geometria varia al variare del gruppo di trasformazioni. Se ci limitiamo alle trasformazioni lineari, cioè a quelle che trasformano una retta in una retta, otteniamo: * la geometria euclidea * la geometria elementare * la geometria affine * la geometria proiettiva

la geometria euclidea diventa lo studio delle proprietà delle figure che restano invariate quando su di esse si pera col gruppo delle isometrie, vale a dire con quelle trasformazioni che lasciano invariata la distanza (traslazione, rotazione, simmetria ortogonale e centrale); (continua)

la geometria elementare diventa lo studio delle proprietà delle figure che restano invariate, quando su di esse si opera con il gruppo delle similitudini, vale a dire quelle trasformazioni che mantengono la forma. Affinché sia mantenuta la forma è sufficiente che si mantenga il rapporto di tutti i segmenti corrispondenti; (continua)

La geometria affine diventa lo studio delle proprietà delle figure che restano invariate quando su di esse si opera col gruppo delle affinità cioè con quelle trasformazioni che mantengono il parallelismo; (continua)

la geometria proiettiva infine, è lo studio delle proprietà delle figure che restano invariate quando su di esse si opera col gruppo delle proiettività, vale a dire con quelle trasformazioni che mantengono le rette (cioè mutano retta in retta) e di conseguenza nel piano mantengono l'ordine di una curva.

La geometria proiettiva è la più generale perché ha un invariante comune a tutte le altre. Se poi si impone la condizione di mantenere il parallelismo si ottiene un sottoinsieme che costituisce la geometria affine, se ancora si impone di mantenere il rapporto fra segmenti corrispondenti, si ottiene un sottoinsieme della geometria affine che costituisce la geometria elementare e finalmente, se si impone al rapporto costante di segmenti corrispondenti di assumere il valore 1, si ottiene un nuovo sottoinsieme che è la geometria euclidea. Il procedimento si può invertire GEGEOMETRIA PROIETTIVA GEOMETRIA AFFINE GEOMETRIA ELEMENTARE GEOMETRIA EUCLIDEIA

1. Proiezione con raggi paralleli su piani paralleli Il punto di vista di Klein ha il pregio di un appoggio visivo. Traduce infatti la corrispondenza biunivoca che si stabilisce fra una “figura piana” e la sua proiezione su un altro piano, fatta con raggi paralleli o appartenenti a una stella propria. 1. Proiezione con raggi paralleli su piani paralleli (continua)

2. Proiezione con raggi incidenti su piani paralleli (continua)

3.Proiezione con raggi paralleli su piani incidenti (continua)

4.Proiezione con raggi incidenti su piani incidenti

Assiomi relativi alla distanza Assioma del piegamento. Per sviluppare la geometria delle trasformazioni si ha bisogno di un’assiomatica. Gustave Choquet propone anche un'assiomatica adatta a sviluppare prima la geometria metrica e successivamente la geometria affine. Assiomi di incidenza Assiomi d’ordine Assiomi relativi alla distanza Assioma del piegamento. (continua)

Assiomi di incidenza a) Per ogni coppia (x, y) di punti distinti di , esiste una e una sola retta contenente x e y. b) Per ogni retta D, e per ogni punto x, passa per x una e una sola retta parallela a D. Questo secondo assioma usa la definizione: due rette sono parallele se non hanno punti comuni o se coincidono

II Assiomi d'ordine a) A ogni retta D sono associate due strutture d'ordine totale, una opposta all'altra, Questo assioma è espresso in una forma condensata perché si suppone noto il concetto di ordine totale su un insieme. (Relazione fra le strutture d'ordine delle diverse rette). Per ogni coppia (A, B) di rette parallele, e per tutti i punti a, b, a', b' tali che a, a'  A e b, b’  B, ogni parallela a queste rette che incontra il segmento aa' incontra anche il segmento bb'

III Assiomi della distanza Al piano  è associata un'applicazione d di  x  in R detta distanza e tale che: 1. d(y,x) =d(x,y) per tutti i punti x,y 2. Per ogni retta orientata D, e per ogni x  D e per ogni numero l  0 esiste in D un unico punto y tale che x  y e d (x, y) = l Per x  (a,b)  [d (a,x) + d(x,b) = d(a,b)] 4. Per ogni terna (a, x, b) di punti non allineati, si ha: 5. d (a,b) < d (a,x) + d (x,b) (disuguaglianza triangolare stretta)

Gli assiomi sopra enunciati consentono di dare la seguente definizione di isometria: Sia X   e f un'applicazione di X in  si dice che f è una isometria se per a,b X[d(a,b)=d{f(a),f(b)}] Per enunciare agevolmente l'ultimo assioma, indicheremo con 1(D) e 2(D) i semipiani aperti definiti da una retta D e chiameremo piegamento intorno a D ogni isometria  di D   1(D) su D  2 (D) tale che per ogni x  D, si abbia  (x) = x. In seguito introduce la simmetria assiale passando dalla corrispondenza biunivoca fra due semipiani (piegamento) alla corrispondenza biunivoca del piano in sé. Assioma IV. Per ogni retta D, esiste almeno un piegamento intorno a D.

Per l'insegnamento della geometria nella scuola abbiamo due possibilità da seguire: *la linea euclidea, basandoci sugli assiomi di Hilbert; *la geometria delle trasformazioni di Klein Quale scegliere? Da un punto di vista didattico, la geometria di Euclide risulta “statica” mentre quella di Klein si presenta sotto un aspetto “dinamico” e ha un appoggio visivo nelle relazioni che legano gli oggetti alle loro ombre. La geometria delle trasformazioni lineari, inoltre, ha il pregio di presentare la geometria in modo unitario dalle isometrie alle proiettività affrontando in classe la geometria delle trasformazioni, si può procedere con quella gradualità che è tanto importante dal punto di vista didattico

Nelle indicazioni didattiche dei nuovi programmi del biennio si legge: "Non ci si può illudere di poter partire dalla disciplina già confezionata, cioè da teorie e da concetti già elaborati e scritti, senza prendersi cura dei processi costruttivi che li riguardano." Siccome l'insegnamento della geometria razionale, secondo i programmi vigenti, è destinato ad allievi di quattordici anni, riteniamo che non sia il caso, a tale età, di cominciare con l'enunciare una catena di assiomi, che per esperienza sappiamo creare nei giovani una meraviglia sul perché si insista su fatti evidenti e noti, perfino banali non e’ opportuno iniziare l'insegnamento della geometria fermando l'attenzione sul significato degli assiomi. Occorre preparare il terreno!

Digressione sulle ombre Puoi anche tu giocare con le ombre. Ecco un esperimento interessante. Probabilmente avrai una lampada da tavolo con paralume non trasparente e a sezione circolare. Di sera, o in una stanza oscurata anche di giorno, accendi la lampada e la impugni in modo che il cerchio sia di fronte alla parete illuminandola. Vedrai un cerchio, è l'immagine del bordo del paralume. Questo cerchio diventa sempre più grande se ti allontani dalla parete. Ma la cosa diventa più interessante se muovi il paralume inclinandolo verso la parete, lentamente; vedrai curve che si allungano sempre più fino ad aprirsi quasi a cercare l'infinito.

La corrispondenza biunivoca

5. LA SIMMETRIA ORTOGONALE (Ribaltamento) Il piano ha due versi, o sensi, uno positivo (antiorario) e uno negativo (orario).

La simmetria ortogonale fra due semipiani è quindi una isometria Il ribaltamento determina una corrispondenza biunivoca fra i punti di due semipiani. La trasformazione lascia invariata la distanza fra due punti qualunque. Tale corrispondenza biunivoca dà luogo a una trasformazione che chiameremo SIMMETRIA ORTOGONALE In generale una trasformazione che lascia invariate le distanze si dice isometria La simmetria ortogonale fra due semipiani è quindi una isometria si deduce ancora che : A una retta parallela all’asse corrisponde una retta parallela all’asse. A una semiretta incidente l’asse corri- sponde una semiretta incidente l’asse.

Da una simmetria ortogonale fra due semipiani a una simmetria ortogonale fra due piani sovrapposti

6. RETTE PERPENDICOLARI Considera la figura seguente: A e A’ sono simmetrici rispetto a r Diremo che due rette r e s sono perpendicolari se la simmetrica di r rispetto a s è r stessa o, ciò che è lo stesso, la simmetrica di s rispetto a r è s stessa.

La simmetria che stiamo studiando si dice ortogonale perché due punti corrispondenti si trovano su una perpendicolare all’asse. Fissata una retta r in un piano, viene determinata una simmetria ortogonale che gode delle proprietà: a un punto A di un semipiano corrisponde un punto A’ dell’altro semipiano; r è perpendicolare alla retta congiungente due punti corrispondenti A e A’ e taglia AA’ nel suo punto di mezzo; ad ogni punto Pr corrisponde P stesso. Cioè i punti di r sono, come si dice, uniti per la trasformazione; ad una retta incidente l’asse corrisponde una retta incidente l’asse nello stesso punto; ad una retta parallela all’asse corrisponde una retta anch’essa parallela all’asse. Possiamo scrivere che, detta i l’identità e r la simmetria ortogonale di asse r: r·r  i

7. I PUNTI UNITI DELLE ISOMETRIE è possibile decidere quanti punti uniti può avere una isometria e come possono essere disposti? se esiste una isometria che ha un punto unito, questo si deve trovare sull’asse di simmetria di ciascuna coppia di punti corrispondenti. Se P e Q sono uniti, la retta PQ avendo due punti uniti non si può trasformare in una retta diversa, cioè è unita per la trasfornmazione. Non può esistere una isometria, non identica, con tre punti uniti non allineati. N.B. Occorre distinguere tra retta di punti uniti e retta unita come sostegno Questo fa pensare che il ragionamento può riuscire là dove l'intuizione fallisce

8. EQUAZIONI DELLA SIMMETRIA ORTOGONALE RISPETTO AGLI ASSI COORDINATI Assumendo x come asse di simmetria vogliamo scrivere le relazioni che legano il punto A (x, y) al suo trasformato rispetto all'asse x, A'. Se poi indichiamo con x'; y' le coordinate di A' possiamo scrivere: x’ = x y’= -y Queste sono le equazioni della simmetria ortogonale rispetto all'asse x. Facilmente si introducono anche le equazioni della simmetria ortogonale rispetto all'asse y.

OSSERVAZIONE La linea della geometria delle trasformazioni che stiamo affrontando si fonda, come abbiamo detto più volte, sul concetto di gruppo di trasformazioni Un gruppo, come è noto, è una struttura in cui è stata definita una operazione che gode di certe proprietà. L’operazione nel nostro caso è il prodotto operatorio di trasformazioni. Il procedimento che seguiremo è quello suggerito da Bachmann, cioè costruiremo tutte le isometrie mediante il prodotto di simmetrie ortogonali. E' importante far riflettere gli allievi sul fatto che fare il prodotto operatorio r·s di due simmetrie ortogonali di assi r e s significa eseguire prima la simmetria di asse s e successivamente la simmetria di asse r.

9. PRODOTTO DI DUE SIMMETRIE AD ASSI PERPENDICOLARI Dati due assi fra loro perpendicolari s e r suggeriamo agli allievi di trasformare il punto generico A del piano prima con r (si ottiene B) e successivamente B con s (si ottiene C) In questo modo i punti del piano vengono trasformati col prodotto delle due simmetrie: s  r

PROPRIETA’ I Teorema: La retta AD è trasformata della retta BC nella simmetria di asse r. II Teorema: AD è parallela a r e perpendicolare a s. III Teorema: La simmetria di asse s trasforma D  A IV Teorema: Il prodotto di due simmetrie ortogonali ad assi perpendicolari è commutativo. V teorema: I punti AOC e BOD sono allineati. Le osservazioni precedenti ci permettono di definire la simmetria centrale

Abbiamo così trovato una nuova isometria: la simmetria centrale. RIASSUMENDO Abbiamo così trovato una nuova isometria: la simmetria centrale. Si tratta di una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano così definita: fissato un punto O, il corrispondente di un qualunque punto A del piano è il punto B, che si trova sulla retta AO, dalla parte opposta di A rispetto a O, ad una distanza tale che OB=OA Il punto O si chiama centro di simmetria.

Proprietà della simmetria centrale I Teorema: La simmetria centrale ha un punto unito II Teorema: La simmetria centrale ha un solo punto unito. III Teorema: Applicare la simmetria centrale due volte equivale ad applicare l'identità. IV teorema: La simmetria centrale trasforma una retta in una retta parallela.

10. EQUAZIONI DELLA SIMMETRIA CENTRALE assumiamo gli assi cartesiani come assi della simmetria. Per la simmetria di asse x: P(x;y)P’(x;-y). Per la simmetria di asse y: P’(x;-y)P”(-x;-y). La simmetria centrale con centro nell’origine muta P(x;y) in P”(-x;-y). Se indichiamo con x’ e y’ le coordinate di P” possiamo scrivere x’=-x y’=-y che sono le equazioni della simmetria centrale.

11. PARALLELOGRAMMI Si dice parallelogramma il quadrilatero convesso determinato da due coppie di punti, che si corrispondono in una simmetria centrale Il nome parallelogramma deriva dal seguente C. N.S. perché il quadrilatero ABCD sia un parallelogramma è che abbia i lati opposti paralleli C. N. S. perché un quadrilatero sia un parallelogramma è che abbia i lati opposti uguali Di dice rombo il parallelogramma a diagonali perpendicolari L’introduzione dei parallelogrammi ci induce ad introdurre la distanza tra due rette parallele e, quindi, il piccolo teorema di Talete con le sue applicazioni sui triangoli.

12. PRODOTTO DI DUE SIMMETRIE ORTOGONALI AD ASSI PARALLELI Sono date due simmetrie ad assi paralleli a e b. Si può proporre agli alunni di trasformare i punti del piano con il prodotto b a. I Teorema: Il prodotto di due simmetrie ortogonali ad assi paralleli sposta i punti del piano in direzione perpendicolare agli assi, di una distanza doppia della distanza tra i due assi. PP” = x+x +(a-x)+(a-x) = 2a

Teorema: Una traslazione muta un segmento in uno uguale e parallelo. Il prodotto di due simmetrie ad assi paralleli a e b è una isometria cui si dà il nome di traslazione Teorema: Una traslazione muta un segmento in uno uguale e parallelo. Possiamo allora introdurre l’inversa di una traslazione, se t = ba sarà t’ = ab Una traslazione non coincide con la sua inversa Le trasformazioni che coincidono con la propria inversa si dicono involutorie. La traslazione non è una trasformazione involutoria, mentre la simmetria ortogonale e la simmetria centrale sono invlutorie. Il prodotto di due simmetrie ortogonali non è generalmente commutativo.

13. RIFLESSIONI SUI PUNTI UNITI E LE ISOMETRIE abbiamo visto che possono esistere: - isometrie senza punti uniti - isometrie con un punto unito - isometrie con una retta unita Teorema: L’isometria con due punti uniti è la simmetria ortogonale.

Certo non potremo dire agli alunni, a questo punto, che introducendo la retta all'infinito le rette perpendicolari all'asse di simmetria sono rette unite come sostegno perché hanno due punti uniti uno sull'asse e uno all'infinito. E neppure possiamo dire che una volta trovato il modo di costruire una isometria con due punti uniti P e Q, il fatto che i punti corrispondenti siano simmetrici rispetto a PQ comporta che a rette parallele all'asse corrispondono rette parallele all'asse e quindi l'isometria acquista anche un terzo punto unito all'infinito che la rende una retta di punti uniti. Abbiamo detto che una traslazione è una isometria con nessun punto unito. In realtà questo è vero al finito, e per i punti impropri? Una traslazione muta ogni retta in una retta ad essa parallela, quindi in una traslazione, una direzione è unita. Ciò significa che la retta all'infinito è una retta di punti uniti.

Come è la retta impropria nel caso della simmetria assiale ortogonale? Vi è una retta propria di punti uniti, l'asse. Una retta parallela all'asse si muta in una retta parallela all'asse. Le rette perpendicolari all'asse sono unite come sostegno Una retta incidente l’asse si muta in una incidente l'asse, ma di diverso coefficiente angolare In altre parole la retta all’infinito è unita come sostegno. La retta all'infinito è unita come sostegno per tutte le trasformazioni lineari, tranne che per le proiettività.

14. SEGMENTI EQUIPOLLENTI Segmenti uguali, paralleli e diretti nello stesso verso si dicono equipollenti Teorema: L’equipollenza è una relazione di equivalenza Teorema: Proiezioni parallele di segmenti equipollenti su una stessa retta (o su rette di uguale direzione) sono equipollenti.

15. EQUAZIONI DELLA TRASLAZIONE Se a e b sono le proiezioni di PP’ sugli assi, per il Teorema precedente, esse restano inalterate comunque si sostituisca PP’ con un segmento equipollente. Assegnate allora le coordinate x;y di P si possono determinare quelle di P’. Vale a dire che stabilita la trasformazione xx+a yy+b Possiamo anche dire che, indicando con x’ e y’ le coordinate di P’, le equazioni x’ = x+a y’ = y+b sono le equazioni della traslazione di componenti a; b nella direzione e senso fissato da PP’.

16. VETTORI La relazione di equivalenza “segmenti equipollenti” permette di determinare una partizione dei segmenti del piano in sottoinsiemi tali che ciascuno contenga con un segmento tutti e soli quelli ad esso equipollenti. Ciascuno di questi sottoinsiemi si dice vettore. In altri termini l’insieme dei vettori è l’insieme quoziente ottenuto dall’insieme dei segmenti del piano mediante la relazione di equivalenza “segmenti equipollenti”.

Teorema: Un vettore determina una traslazione. Abbiamo visto nascere il vettore da una traslazione, vediamo ora come da un vettore nasce una traslazione. Teorema: Un vettore determina una traslazione. Conduciamo per M la perpendicolare a MN, sia a; conduciamo poi per il punto di mezzo di MN la parallela ad a, sia b. Il prodotto delle due simmetrie ba è la traslazione che trasforma M in N.

SOMMA DI VETTORI Sono dati nel piano due vettori u e v. Il vettore u trasforma il punto P nel punto P'. il vettore v trasforma il punto P' nel punto P". Il vettore u + v trasforma quindi P in P". Dati due vettori u e v tali che u trasformi P in P' e v trasformi P’ in P”, la somma u + v è rappresentata dalla diagonale del parallelogramma costruito con i due vettori.

Proprietà delle traslazioni rispetto al prodotto Siano t, t’, . . . delle traslazioni del piano e T l'insieme di tutte le traslazioni, l’operazione di prodotto gode delle seguenti proprietà: a. t,t’T : tt’T chiusura b. V t,t'T : t ·t' = t’t commutatività c. V t, t’, t”  T : (t t') t” = t (t' t")ass d.  t1T  t  T : t1·t = t elemento neutro e. V t  T  t’  T : t t’ = t1 el. inverso Abbiamo indicato Con t1 l'elemento neutro, in tal caso l'identità, e con t’, la traslazione inversa.

Proprietà dell'addizione nell'insieme V dei vettori a  u,v V : u+v V chiusura b.  u,v V : u+v = v+u commutatività c.  u,v,w  V : (u+v)+w = u+(v+w)ass d.  v1 V  v  V : v+v1 = v el neutro e.  v V  v'  V : v'+v = v1 el. inverso Il vettore v1 rappresenta il vettore nullo, elemento neutro dell'addizione che si usa anche indicare col simbolo O (zero) e v' l'elemento inverso (vettore opposto). Le traslazioni rispetto al prodotto e i vettori rispetto alla somma hanno una struttura di gruppo commutativo. Le due strutture sono isomorfe.

17. PRODOTTO DI DUE SIMMETRIE ORTOGONALI AD ASSI INCIDENTI Siano date due simmetrie ortogonali i cui assi a e b si intersecano in un punto O. Trasformando un punto P prima con a si ottiene P’, successivamente trasformando P’ con b, si ottiene P". OP = OP’ = OP" cioè la trasformazione muta OP in OP”.

Definizione: Si dice rotazione intorno a un punto O il prodotto di due simmetrie ortogonali i cui assi passano per O. Teorema: La rotazione è una isometria Teorema: Il prodotto di due simmetrie ad assi incidenti non è generalmente commutativo. Affinché ci sia la commutatività occorre che b sia perpendicolare ad a. La simmetria centrale è un caso particolare di rotazione Teorema: Date due semirette a e b della stessa origine O è sempre possibile trovare una e una sola rotazione intorno a O che trasformi a in b. Teorema: Il prodotto di due rotazioni con lo stesso centro è una rotazione con lo stesso centro.

Teorema: Le rotazioni con lo stesso centro, rispetto al prodotto, hanno una struttura di gruppo commutativo. Infatti le rotazioni godono delle proprietà caratteristiche del gruppo, cioè: Il prodotto di due rotazioni è una rotazione. Cioè l’insieme è chiuso rispetto all’operazione di prodotto. Il prodotto di rotazioni è associativo perché è dato dal prodotto di simmetrie, che è associativo. Esiste l’elemento neutro: l’identità (aa) Per ogni rotazione ba esiste l’inversa ab, infatti (ab)(ba) = a(bb)a = aa = i Vale anche la proprietà commutativa

OSSERVAZIONE Una volta introdotte le rotazioni si può proporre lo studio della circonferenza definendola nel modo classico come luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. Potremmo mostrare che: la circonferenza ha infiniti assi di simmetria: tutte le rette per O. la circonferenza ha infinite rotazioni che la trasformano in se stessa.

18. GLI ANGOLI L’angolo ab di due semirette a e b con la stessa origine O è la rotazione che trasforma a in b. Le due semirette a e b sono i lati dell’angolo OSSERVAZIONE Le definizioni più utilizzate di angolo sono: l’angolo è la regione di piano compresa fra due semirette aventi la stessa origine; l’angolo è l’intersezione di due semipiani chiusi aventi un punto in comune. Ambedue queste definizioni portano al confronto di regioni illimitate il che comporta delle difficoltà nel confronto diretto tra angoli. Un’altra difficoltà insita in queste due usuali definizioni di angolo nasce quando si considerano angoli maggiori di un angolo giro.

Diremo angolo di due rette orientate l’angolo formato dalle due semirette positive, nell’orientamento fissato. Definizione: Diremo che due angli ab e cd, con lo stesso vertice O sono uguali quando la rotazione che trasforma a in b trasforma anche c in d. La relazione di uguaglianza così definita determina una partizione nell’insieme degli angoli di ugual vertice. In questo modo ad ogni angolo corrisponde una rotazione e viceversa ad ogni rotazione corrisponde un angolo Definizione: La somma ab + bc è l’angolo ac, cui corrisponde la rotazione che porta a su c. La corrispondenza stabilita è biunivoca e conserva l’operazione: angoli rotazioni ab + bc = ac  Rab Rbc = Rac

Alla somma di due angoli corrisponde il prodotto delle rotazioni corrispondenti. Si ottengono due strutture isomorfe. Abbiamo visto che le rotazioni con lo stesso centro formano gruppo, quindi anche l’insieme degli angoli con lo stesso vertice, rispetto all’addizione, forma gruppo. Infatti: La somma di due angoli con lo stesso vertice è un angolo con lo stesso vertice. Vale la proprietà commutativa Vale la proprietà associativa Esiste l’elemento neutro: l’angolo nullo associato alla rotazione nulla o identità. Dato l’angolo ab esiste l’inverso ba (associata alla rotazione che porta b in a), per cui ab + ba = O o equivalentemente ab = - ba

CONFRONTO TRA ANGOLI Se ab e ac sono due angoli con lo stesso vertice e orientati positivamente diremo che ab < ac se esiste un angolo bc tale che ab + bc = ac Se mn e pq sono due angoli con lo stesso vertice e orientati negativamente diremo che mn > pq se nm < qp (opposti positivi) UGUAGLIANZA DI ANGOLI CON VERTICE DIVERSO Definizione: Diremo uguali due angoli che si corrispondono nella traslazione definita dal vettore OO’. Potremmo introdurre ora la bisettrice di un angolo come l’asse di simmetria tra i lati di un angolo e dimostrare che:

Teorema: Il prodotto di due simmetrie i cui assi formano un angolo  è una rotazione di un angolo 2 doppio di quello formato dai due assi. Siano a, b due rette che formano un angolo . Il prodotto di simmetrie ba è una rotazione nella quale la retta a si muta nella retta c simmetrica di a rispetto a b. L’angolo della rotazione è dunque ac; risulta: ac = ab + bc ma ab = bc quindi ab = 2 ab. OSSERVAZIONE: A questo punto potremmo introdurre le proprietà angolari dei poligoni stando attenti ad angoli maggiori o uguali di 2 in quanto, avendo definito gli angoli mediante le rotazioni, abbiamo considerato sempre angoli congrui mod. 2, minori di 2.

19. EQUAZIONI DELLA ROTAZIONE DI CENTRO L’ORIGINE E AMPIEZZA  Consideriamo una rotazione antioraria di ampiezza  e centro nell’origine degli assi che faccia corrispondere al punto P(x;y) il punto P’(x’;y’). Dalla figura x’ = OR = OP’ cos(+) = OP(coscos - sensen) quindi x’ = xcos - ysen Analogamente y’ = RP’ = OP’ sen(+) = OP(sencos + cossen) Da cui y’ = xsen + ycos Se invece il centro di rotazione è il punto (x0;y0) le equazioni diventano

20. IL GRUPPO DELLE ISOMETRIE Non sappiamo ancora cosa accade componendo tra loro tutte le isometrie trovate. La proprietà che afferma che una isometria con tre punti uniti non allineati è l’identità ci aiuta in questa ricerca. Vediamo come si può trasformare una terna di punti O,A,B in una terna di punti corrispondenti O’,A’,B’ in una isometria. Teorema: Una qualunque isometria si può ottenere col prodotto di un massimo di tre simmetrie ortogonali.

Tutte le isometrie si possono ridurre a: a) simmetria ortogonale b) prodotto di due simmetrie ortogonali c) prodotto di tre simmetrie ortogonali Teorema: Il prodotto di tre simmetrie ortogonali, i cui assi non appartengono tutti allo stesso fascio, è una isometria, che si chiama GLISSOSIMMETRIA. Una trasformazione prodotto di una traslazione e di una simmetria avente la stessa direzione della traslazione si chiama glissosimmetria. La parola glissosimmetria deriva dalla lingua francese ed è l’insieme di due termini, l’uno che si riferisce alla traslazione (glisser = scivolare), l’altro alla simmetria.

21. PRODOTTO DI SIMMETRIE I CUI ASSI FORMANO FASCIO Teorema (delle tre simmetrie): Condizione necessaria e sufficiente perché il prodotto di tre simmetrie sia una simmetria è che i tre assi appartengano allo stesso fascio. Teorema: Il prodotto di due rotazioni è una rotazione o una traslazione

22. ISOMETRIE DIRETTE E INVERSE la simmetria ortogonale è una isometria inversa perché inverte l’ordine del piano. Le isometrie ottenute dal prodotto di un numero pari di simmetrie sono isometrie dirette (rotazione, traslazione). La glissosimmetria è una isometria inversa perché si ottiene dal prodotto di un numero dispari di simmetrie. L’identità è chiaramente una isometria diretta

23. IL GRUPPO DELLE ISOMETRIE Possiamo ridurre le isometrie a quattro tipi diversi: .Simmetria ortogonale .Traslazione o rotazione (prod. di due simm) .Glissosimmetria (prod. di tre simm.) Identità La composizione di queste isometrie dà sempre isometrie dei tipi sopra enunciati L'insieme dei quattro tipi di isometrie considerate gode perciò, rispetto al prodotto di isometrie, delle proprietà di una struttura di gruppo non commutativo. a. il prodotto di due isometrie è una isometria b. il prodotto è associativo c. esiste l’elemento neutro, l’identità d. per ogni isometria esiste l’isometria inversa Abbiamo dimostrato, infatti, che in generale il prodotto di simmetrie non è commutativo. Ne consegue che, in generale, il prodotto di isometrie non è commutativo

Il gruppo delle isometrie possiede dei sottogruppi: - il sottogruppo delle traslazioni; - il sottogruppo delle rotazioni intorno a un punto; - il sottogruppo delle isometrie dirette

24. UGUAGLIANZA DI FIGURE PIANE Definizione: Due figure si dicono uguali se si corrispondono in una isometria OSSERVAZIONE Con tale definizione si possono dimostrare tutte le proprietà e i teoremi riguardanti l’uguaglianza di figure piane, compresi i criteri i uguaglianza dei triangoli evitando di dover ricorrere al movimento rigido.

25. OMOTETIA Per rendere il procedimento razionale occorre aver dimostrato il teorema di Talete nella sua forma più generale con il suo inverso: Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due insiemi di segmenti in corrispondenza biunivoca e fra loro proporzionali.

DEFINIZIONE Dati due piani sovrapposti  e ’, fissato un punto O e un numero reale nR si stabilisce una corrispondenza biunivoca fra i punti dei due piani sovrapposti tale che ad ogni punto P corrisponda un punto P’’ in modo che: O, P, P’ siano allineati n R, n  0 L’omotetia è univocamente determinata non appena si stabilisca la posizione di O e il numero n. Se n > 1 si ha un ingrandimento della figura, se n< 1 si ha un rimpicciolimento. Se n > 0, P’ si trova dalla stessa parte di P rispetto a O, se n < 0, P’ si trova dalla parte opposta di P rispetto a O.

PROPRIETA’ CHE CARATTERIZZANO UN’OMOTETIA A retta corrisponde retta e rette corrispondenti sono parallele Il rapporto fra segmenti corrispondenti è costante e uguale a n. angoli corrispondenti sono uguali Se si trasforma il piano con l'omotetia di centro O e rapporto n e successivamente con l'omotetia di centro O e rapporto n-1 si ottiene l'identità.

26. EQUAZIONI DELL’OMOTETIA Riferendoci ad un piano cartesiano assumiamo come centro di omotetia l’origine O delle coordinate, vogliamo determinare le equazioni dell'omotetia di centro O e rapporto n. OA' = n 0 cioè OA' = n OA OA Se indichiamo con (x, y) le coordinate del punto A e con (x', y') le coordinate del punto A', la precedente relazione si traduce nelle: x' = n x y' = n y Sono queste le equazioni della omotetia che ha il centro nell'origine e rapporto n. Osserviamo che se n = 1 ritroviamo le equazioni dell'identità, se n = -l quelle della simmetria centrale di centro l'origine.

27. IL GRUPPO DELLE OMOTETIE CON LO STESSO CENTRO Teorema: Le omotetie con lo stesso centro formano gruppo l’insieme delle omotetie verifica le proprietà di gruppo cioè: è chiuso rispetto all’operazione di prodotto. Il prodotto è associativo, come in generale il prodotto di trasformazioni. Sappiamo costruire per ogni omotetia di centro O e rapporto n la sua inversa di centro O e rapporto n-1. Esiste l’elemento neutro, l’identità. Vale anche la proprietà commutativa Teorema: Le omotetie con centro diverso non formano gruppo

omotetie con centro diverso non formano gruppo omotetie con centro diverso non formano gruppo. Appartengono ad un gruppo più vasto che è quello formato dal prodotto delle omotetie e delle traslazioni detto gruppo delle dilatazioni 28. EQUAZIONI CARTESIANE DELLA DILATAZIONE Abbiamo già trovato le equazioni dell’omotetia: x’ = n x con nR e n  0 y’ = n y Possiamo adesso scrivere le equazioni cartesiane della dilatazione che si ottiene dal prodotto di una omotetia per una traslazione, cioè: x’ = n x + p n, p, q  R y’ = n y + q

29. SIMILITUDINE Chiameremo SIMILITUDINE quella trasformazione, fra i punti di due piani sovrapposti o fra i punti di uno stesso piano, ottenuta dal prodotto di una omotetia e di una isometria. L'isometria, come sappiamo, può essere diretta o inversa. Il prodotto di una omotetia e di una isometria sarà una similitudine diretta o inversa a seconda che l'isometria considerata sia diretta o inversa Diremo simili le figure che si corrispondono in una similitudine

PROPRIETA’ Teorema: Se fra i punti di uno stesso piano (o di due piani sovrapposti) è stabilita una corrispondenza biunivoca tale che il rapporto di ogni coppia di segmenti corrispondenti è costante, allora i due piani si corrispondono in una similitudine. Teorema: Fissate due coppie di punti corrispondenti AA’, BB’ esistono due similitudini una diretta e l’altra inversa. Teorema: Fissati su due piani sovrapposti  e ’ due segmenti AB  e A’B’ ’ corrispondenti, stabilito poi che a un determinato semipiano di  corrisponda un ben determinato semipiano di ’, viene determinata una e una sola similitudine fra i punti dei due piani sovrapposti. Teorema: In una similitudine gli angoli corrispondenti sono uguali.

30. IL GRUPPO DELLE SIMILITUDINI Le similitudini rispetto al prodotto operatorio formano gruppo 1) SIMILITUDINI DIRETTE a. il prodotto di due similitudini dirette, rispettivamente di rapporto n e m, è una similitudine diretta di rapporto nm. b. Il prodotto di similitudini è associativo c. Esiste l'elemento neutro, l'identità d. Per ogni similitudine che muta AB in A"B" esiste la similitudine inversa che muta A”B” in AB. Se infatti la similitudine S è uguale al prodotto di una omotetia O per una isometria I, cioè S = I  O, S-1 = O-1  I-1

Consideriamo ora tutte le similitudini, il loro prodotto possiede certamente le proprietà b, c, d del gruppo delle similitudini dirette. Riflettiamo sulla proprietà di chiusura. il prodotto di due similitudini ambedue dirette o ambedue inverse è una similitudine diretta; il prodotto di due similitudini una diretta e l’altra inversa è una similitudine inversa. Possiamo concludere che il prodotto di due similitudini è una similitudine Vale a dire che le similitudini formano un gruppo di cui le similitudini dirette costituiscono un sottogruppo. Potremmo a questo punto introdurre il concetto di figure simili (che si corrispondono in una similitudine) e quindi i criteri di similitudine.

31. RAPPORTO SEMPLICE DI TRE PUNTI ALLINEATI Definizione: dati tre punti su una retta si dice rapporto semplice di tre punti allineati ABC il rapporto AC/BC che si usa indicare con (ABC) Supponiamo che nell’ordinamento della retta A < B. Distinguiamo i seguenti casi: 1) C < A , AC e BC sono entrambi negativi e quindi (ABC) > 0; 2) C = A, AC = 0 e quindi (ABC) = 0; 3) A < C < B, AC è positivo e BC è negativo quindi (ABC) < 0; 4) C = B, BC = 0 e quindi (ABC) è infinito; 5) C > B, AC e BC sono entrambi positivi e quindi (ABC) > 0. Analizziamo il caso A < B < C Possiamo scrivere (ABC) = AC/BC = (AB + BC)/BC = AB/BC + 1 All’allontanarsi di C verso l’infinito (ABC) = 1.

32. QUATERNE Dati quattro punti A,B,C,D qualsiasi allineati si può costruire il loro birapporto, il cui valore è espresso da: (ABCD) =(ABC)/(ABD) = (AC/BC)/(AD/BD), cioè come rapporto di rapporti semplici che, quindi, varierà a seconda della posizione reciproca dei quattro punti allineati. Nel caso particolare in cui tale birapporto vale -1, allora si chiama anche armonico.

33. EQUAZIONI DI PARTICOLARI SIMILITUDINI tO Ot È evidente che tO  Ot cioè il prodotto di una omotetia per una traslazione non è, commutativo; in generale possiamo dire che il prodotto di una omotetia per una isometria non è commutativo.

34. EQUAZIONI GENERALI DI UNA SIMILITUDINE Una similitudine trasformando un segmento in un segmento, trasforma una retta in una retta, è perciò una trasformazione lineare. Le equazioni della trasformazione debbono quindi essere lineari, cioè del tipo x’ = ax + by + c y’= a'x + b' y + c’ o almeno del tipo x’= ax + by (1) y’= a'x + b'y Tali equazioni senza alcun vincolo per i coefficienti a, b, a', b’ non sono le equazioni di una similitudine. Imponendo che trasformi un cerchio in un cerchio si ha: x’ = ax  by y’ = bx  ay abbiamo ottenuto due similitudini, una diretta e una inversa.

35. LE ISOMETRIE E LE SIMILITUDINI TRASFORMANO LE CONICHE Le isometrie possono trasformare una retta in una qualunque altra retta, possiamo perciò affermare che le rette rispetto alle isometrie sono tutte “uguali”, nel senso che sono trasformabili tutte l’una nell’altra. Per quanto riguarda il cerchio abbiamo visto che la trasformazione lineare che muta un cerchio in un cerchio è una similitudine. Possiamo affermare, nel senso sopra adoperato, che due cerchi sono “uguali” rispetto a una similitudine mediante una similitudine, le parabole sono tutte trasformabili l’una nell’altra; possiamo dire che sono tutte “uguali” rispetto alla similitudine. Due ellissi sono trasformabili l’una nell’altra con una similitudine soltanto se hanno i semiassi proporzionali, in questo caso si dice che le ellissi sono simili. due iperboli non si corrispondono in una similitudine. Perché ciò avvenga occorre che i coefficienti delle due iperboli siano proporzionali. In quest’ultimo caso le iperboli sono simili.

36. IL PUNTO UNITO DI UNA SIMILITUDINE Una similitudine che non si riduca a una isometria non può avere due punti uniti O e P perché in tal caso si tratterebbe cioè di una isometria. Ci limitiamo al caso particolare della dilatazione di equazioni x’ = nx + p y’ = ny + q I punti uniti di una trasformazione si ottengono quando il punto e il suo trasformato coincidono, e quindi x’ = x e y’ = y da cui x = p/(1-n) e y = q/(1-n) Queste sono le coordinate del punto unito. Esse perdono di valore per n = 1, nel qual caso la similitudine è una isometria e più precisamente una traslazione che non ha quindi punti uniti.

37. LE TRASFORMAZIONI E LA RETTA ALL’INFINITO Per prima cosa occorre introdurre le coordinate omogenee alle coordinate x, y le coordinate x/z, y/z. L'equazione della retta in coordinate cartesiane è ax + by + c = 0 in coordinate omogenee è ax + by + cz = 0 Una soluzione dell'equazione è costituita da infinite terne proporzionali che rappresentano lo stesso punto della retta. TRASLAZIONE Equazioni in coordinate omogenee Le intersezioni con la retta all’infinito si ottengono per z = 0, cioè: x’ = x e y’ = y che rappresenta l’identità. Questo vuol dire che tutti i punti all’infinito restano fermi, cioè la retta all’infinito nella traslazione è una retta di punti uniti.

SIMMETRIA ORTOGONALE Equazioni della simmetria ortogonale in coordinate omogenee Questa trasformazione muta (1;i;0) in (1;-i;0) cioè scambia i punti ciclici fra loro e perciò la retta all’infinito è una retta unita come sostegno. Abbiamo visto nel piano delle isometrie che una retta con due punti uniti è una retta di punti uniti, ma nel piano completato dalla retta all’infinito una retta deve avere almeno tre punti uniti per essere luogo di punti uniti. Cerchiamo i due punti uniti che la simmetria ortogonale lascia fermi sulla retta all’infinito. Un punto unito è il punto all’infinito dell’asse di simmetria, nel nostro caso (1;0;0). L’altro è il punto all’infinito delle rette perpendicolari all’asse, rette che congiungono coppie di punti corrispondenti, nel nostro esempio è (0;1;0)

OMOTETIA L’equazione in coordinate omogenee della omotetia con il centro nell’origine è: L’omotetia trasforma il generico punto all’infinito (x;y;0) nel punto (mx;my;0). La seconda terna è proporzionale alla prima, quindi rappresenta lo stesso punto. Perciò l’omotetia ha all’infinito una retta di punti uniti. DILATAZIONE L’equazione in coordinate omogenee è: Sulla retta all’infinito un punto generico (x;y;0) si trasforma in (mx;my;0) che è ancora lo stesso punto. Quindi la dilatazione ha nella retta all’infinito una retta di punti uniti.

SIMILITUDINE DIRETTA L’equazione in coordinate omogenee è Il punto ciclico (1;i;0) si trasforma nel punto (a-ib;b+ia;0) cheè lo stesso (1;i;0). Analogamente per (1;-i;0). Cioè i punti ciclici sono uniti. Un generico punto all’infinito (1;c;0) si trasforma in (a-bc;b+ac;0) che in generale sarà diverso da (1;c;0) Diventa uguale per (b+ac)/(a-bc) = c con a-bc  0. Da cui c =  i Abbiamo verificato che i soli punti uniti sono i punti ciclici. Gli altri punti all’infinito si spostano sulla retta all’infinito. La stessa cosa accade per la similitudine inversa.

38. IL PUNTO DI VISTA DEL PROGRAMMA DI ERLANGEN DI KLEIN Abbiamo costruito, a partire dal prodotto di simmetrie, il gruppo delle isometrie Abbiamo così studiate le proprietà delle figure che non variano quando su di esse si operi col gruppo delle isometrie. . In questo modo vengono evidenziati gli invarianti. . Non varia l'allineamento dei punti, il parallelismo (cioè rette parallele si mutano in rette parallele), la perpendicolarità, la distanza, l'area, gli angoli, i triangoli, i parallelogrammi, i quadrati, i cerchi, le parabole, le iperboli, le ellissi …… Lo studio di tutto ciò costituisce la geometria euclidea.

38. IL PUNTO DI VISTA DEL PROGRAMMA DI ERLANGEN DI KLEIN A questo punto abbiamo fatto un cambiamento: siamo passati da segmenti corrispondenti uguali a segmenti corrispondenti proporzionali, mantenendo tutti gli altri assiomi. Sono state cosi costruite le similitudini. Abbiamo dimostrato che le similitudini formano gruppo rispetto al prodotto e che le isometrie sono un sottogruppo del gruppo delle similitudini. Non varia l’allineamento, il parallelismo, la perpendicolarità, gli angoli, il rapporto fra segmenti corrispondenti. Nel piano delle similitudini vi è un triangolo equilatero, un quadrato, un cerchio, una parabola, infinite iperboli, infinite ellissi. In questo modo abbiamo studiato la geometria elementare.

COMPOSIZIONE MEDIANTE PRODOTTO DELLE TRASFORMAZIONI STUDIATE FINO A QUESTO PUNTO

39. OMOLOGIA AFFINE Fissiamo sul piano una retta r, una direzione di proiezione  che non sia parallela a r e un numero k  R, k  O, stabiliamo una corrispondenza biunivoca nel seguente modo: scelto a caso un punto A, conduciamo per A la retta di direzione , il punto A', corrispondente di A, deve appartenere a questa retta e lo sceglieremo in modo che, detto Q = AA'  r, risulti A’Q/AQ =k con k  0 Ripetiamo l'operazione per un punto B, otterremo il punto B', se BB'  r = T la relazione che lega B a B' è B’T/BT = k Da cui si deduce A’Q/AQ = B’T/BT che si può anche scrivere (A'AQ) = (B'BT) Abbiamo costruita una trasformazione del piano con una retta unita r che chiameremo appunto, omologia affine. Ogni trasformazione del piano con una retta unita si chiama omologia.

40. PROPRIETA’ DELL’OMOLOGIA AFFINE .La corrispondenza è univocamente determinata La retta r è effettivamente una retta di punti uniti A retta corrisponde retta e rette corrispondenti si tagliano sull’asse o sono parallele all’asse. Fra rette corrispondenti è stabilita dalle rette di direzione  una corrispondenza di Talete, quindi il rapporto semplice di tre punti allineati è uguale a quello dei loro corrispondenti. A rette parallele corrispondono rette parallele.

Riassumiamo: l'omologia affine costruita è una corrispondenza biunivoca fra i punti di due piani sovrapposti determinata da una retta unita (asse), da una direzione di proiezione diversa da quella dell’asse e da un rapporto k  R, k  0. Questa corrispondenza muta retta in retta, mantiene il parallelismo, cioè muta un parallelogramma in un parallelogramma e quindi muta anche segmenti equipollenti in segmenti equipollenti, mantiene inoltre il rapporto semplice di tre punti allineati. L'omologia affine inversa di quella ora costruita è ancora una omologia, che ha lo stesso asse, la stessa direzione di proiezione e rapporto k-1. L'omologia affine di rapporto = 1 è l'identità.

41. EQUAZIONI DELL’OMOLOGIA AFFINE IN CASI PARTICOLARI Dato un riferimento cartesiano ortogonale, consideriamo una particolare omologia affine per cui l’asse di omologia sia l’asse x e la direzione di proiezione sia quella dell’asse y. Fissato un rapporto k, il generico punto P(x;y) si muta nel suo corrispondente P’(x’;y’), dovendo essere P’H = kPH Le equazioni di tale omologia sono pertanto Analogamente, le equazioni dell’omologia di asse y e direzione di proiezione parallela all’asse x sono OSSERVAZIONE: La circonferenza, trasformata mediante una omologia affine, si muta nell’ellisse

42. AFFINITA’ L'affinità è la trasformazione più generale che mantiene il parallelismo. Teorema I: L'affinità con due punti uniti ha una retta di punti uniti. Teorema: L'affinità con tre punti uniti non allineati è l'identità Teorema: L'omologia affine di cui si conosca la retta unita e una coppia di punti corrispondenti A e B, comunque posti, è unica. Teorema IV: La più generale collineazione che muta un parallelogramma in un parallelogramma si può ottenere dal prodotto di una similitudine per una omologia affine. Teorema V: L'affinità che porta A in A', B in B', O in O' è unica.

Riassumendo: ogni affinità muta un parallelogramma in un parallelogramma. Viceversa, dati due parallelogrammi ABCD, A’B’C’D’ esiste una e una sola affinità che muta il primo nel secondo parallelogramma, purché muti ordinatamente A in A', B in B’,C in C', D in D'. La trasformazione si ottiene dal prodotto di una similitudine per un'omologia affine. E' facilmente comprensibile come anche le affinità si distinguano in affinità dirette o inverse a seconda che mantengano l'orientamento del piano o lo invertano.

43. IL GRUPPO DELLE AFFINITA’ E LA GEOMETRIA AFFINE Le affinità rispetto al prodotto (composizione di affinità) formano gruppo, infatti: a. Il prodotto di due affinità mantiene il parallelismo, quindi è ancora una affinità b. Il prodotto di affinità, come accade per tutte le trasformazioni, è associativo C. Esiste l'elemento neutro, l'identità, che si ottiene nel caso particolare quando si trasforma un triangolo in se stesso. d. L'inversa di una affinità è una affinità

Il gruppo delle affinità ha per sottogruppi il gruppo delle similitudini e quello delle isometrie. Si passa dal gruppo delle similitudini a quello delle affinità lasciando cadere dei vincoli. Per esempio l'invarianza degli angoli o la distanza.

44. EQUAZIONI DELL’AFFINITA’ Una trasformazione che muta retta in retta deve essere lineare. Se lascia ferma la retta all'infinito dovrà avere equazioni del tipo: Se prescindiamo poi dalla eventuale traslazione dove af – bd  0 La condizione posta assicura che la corrispondenza è biunivoca, cioè che il sistema è risolvibile rispetto a x e y. Si dimostra facilmente che tale trasformazione gode della proprietà ricercata e cioè che muta rette parallele in rette parallele.

45. LE CURVE DEL SECONDO ORDINE NEL PIANO AFFINE Le iperboli e le ellissi nel piano delle similitudini sono infinite; anche se dal passaggio dal piano delle isometrie a quello delle similitudini la loro infinità è diminuita. Infatti nel piano delle similitudini vanno considerate "uguali" le infinite ellissi e le infinite iperboli simili vale a dire quelle che hanno i semiassi proporzionali. ln una trasformazione del piano affine, in cui la retta all'infinito resta ferma, una iperbole, una parabola, una ellisse, che tagliano la retta all'infinito rispettivamente in due punti reali e distinti, in due punti reali e coincidenti, in due punti immaginari si trasformeranno sempre in una curva del secondo ordine che taglierà la retta all'infinito rispettivamente in due punti reali e distinti, in due punti reali e coincidenti, in due punti immaginari; vale a dire una iperbole si trasformerà in una iperbole, una parabola in una parabola, una ellissi in una ellissi. nel piano affine parabola, ellisse e iperbole sono ancora diverse Si può facilmente vedere, che, ad esempio, una ellisse è sempre affine a un cerchio.

46. L’AFFINITA’ E LA RETTA IMPROPRIA Una affinità muta punti propri in punti propri e punti impropri in punti impropri. Dunque la retta all’infinito è unita come sostegno. In una omologia affine il punto all'infinito dell’asse è unito e per questo motivo rette parallele all’asse si mutano in rette parallele all'asse. Ma vi è anche un altro punto improprio unito, la direzione di proiezione. Vi sono dunque due direzioni unite: quella dell'asse e quella di proiezione. La retta all'infinito, avendo due punti uniti è unita come sostegno. Nel caso di un'omologia affine avente come retta unita l'asse x e come direzione di proiezione quella dell'asse y, sono uniti i punti all'infinito dell'asse x e dell'asse y.

47. CENNI DI GEOMETRIA PROIETTIVA Abbiamo detto che la Geometria proiettiva è lo studio delle proprietà delle figure che restano invariate quando su di esse si opera col gruppo delle proiettività; vale a dire col gruppo più generale delle trasformazioni che mantengono le rette. Tali trasformazioni conservano, inoltre, il birapporto di ogni quaterna di punti allineati. Nel piano proiettivo non si mantiene il parallelismo, quindi se si vuole passare da trasformazioni affini a quelle proiettive basterà modificare gli assiomi, ed enunciare, al posto dell’esistenza e dell’unicità della parallela l’assioma: ogni coppia di rette del piano ha un punto in comune

Le equazioni della proiettività dove k sta ad indicare un fattore di proporzionalità che nel piano proiettivo consente di ritrovare le infinite terne proporzionali che rappresentano un punto. Nel piano proiettivo, la retta all’infinito si può mutare in una retta al finito e viceversa. Pertanto le coniche diventano tutte trasformabili l’una nell’altra cioè, nel gergo utilizzato, sono tutte “uguali”.