INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme

Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A1, A2, B1… gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 …

Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}

I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme. Esempio: a b c d A

Il simbolo di appartenenza: Î Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive: a Î A si legge “a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive: b Ï A si legge “b non appartiene ad A".

CONFRONTO TRA INSIEMI B Í A (oppure A Ê B) Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B Í A (oppure A Ê B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A " b Î B  b Î A

CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto : Æ Insieme privo di elementi Æ Í A (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: B Ì A (oppure A É B) se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se  a A : a  B

CONFRONTO TRA INSIEMI Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa: A = B  (A Í B e B Í A) Due insiemi A e B si dicono diversi se esiste un elemento di uno dei due insiemi che non appartiene all’altro: AB

Proprietà della relazione di inclusione: Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha: A Í A (proprietà riflessiva) se A Í B e B Í A allora A = B (proprietà antisimmetrica) se A Í B e B Í C allora A Í C ( proprietà transitiva)

Insieme delle parti L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A, compresi l'insieme vuoto ed A stesso, si dice insieme delle parti di A (o potenza di A) e si indica con P(A) Esempio: Sia A = {1, 2, 3}, P(A)= {Æ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Se A contiene n elementi allora P contiene 2n elementi

OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO

UNIONE TRA INSIEMI L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B L’unione di A e B si scrive: A È B = {x : x Î A o x Î B } Se A = B A È B = A Se A  B A È B = B

UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} 1 2 3 A B

UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A È B = {0, 1, 2, 3} 1 2 3 A B

INTERSEZIONE TRA INSIEMI L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B L'intersezione di A e B si scrive: A Ç B = {x : x Î A e x Î B } Se A = B A Ç B = A Se A  B A Ç B = A Se A Ç B =  A e B si dicono disgiunti.

INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B 1 2 3

INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A Ç B = {1, 2} A B 1 2 3

PROPRIETA’ DI UNIONE E INTERSEZIONE Proprietà commutativa: A È B = B È A A Ç B = B Ç A Proprietà associativa: (A È B) È C = A È (B È C) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) Proprietà distributiva: A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

DIFFERENZA TRA INSIEMI La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: La differenza di A e B si scrive A - B = A \ B = {x : x Î A e x Ï B } Se A = B A \ B = Se A  B A \ B =

DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} 1 2 3 A B

DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0} 1 2 3 A B

DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3} 1 2 3 A B

INSIEME COMPLEMENTARE Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universo. sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA =A’ =U \ A = {x : x Î U e x Ï A }

INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} 0 3 5 1 2 U A

INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} CUA =U \ A = {0, 3, 5} 0 3 5 U A 1 2

PRODOTTO CARTESIANO Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y)  (y,x) Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A ´ B = {(x, y) : x Î A, y Î B}

PRODOTTO CARTESIANO Non è commutativo: A ´ B  B ´ A Se A=B A ´ B = A2 Dati n insiemi: A1, A2, ….., An : A1 ´ A2 ´ …. ´ An = {(x1, x2, ….., xn) : x1 Î A1 , x2 Î A2, … , xn Î An } Se A1 = A2 =… =An A1 ´ A2 ´ …. ´ An = An

PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} B ´ A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

ESERCIZI Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} Calcolare: B \ A = {6}

INSIEMI NUMERICI NATURALI INTERI O RELATIVI RAZIONALI IRRAZIONALI REALI

I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,…..} Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune relazioni Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di “minore o uguale di” (m<n sse p N: m+p=n)

I NUMERI NATURALI  m, n, p  N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m • n) • p= m • (n • p) Commutativa: m + n = n + m m • n = n • m Distributiva: m • (n + p)= m • n + m • p Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:  1 N: 1 • m = m

I NUMERI RELATIVI L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione. Non è ad esempio chiuso rispetto alla sottrazione  sistema algebrico dei numeri relativi: Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …} Z+ = {+1, +2, +3, …} = N Z- = {-1, -2, -3, …} Z = Z+ È Z - È {0}

I NUMERI RELATIVI Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre: 4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:  0 Z : x + 0 = x, xZ 5) Esiste l’opposto: xZ,  y Z : x + y = 0, 6) Chiuso rispetto alla sottrazione: x – y = x + (-y)

I NUMERI RAZIONALI PROBLEMA: Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}} ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.

NUMERI RAZIONALI -2 -1 3 2 1 Q è denso: q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2 N e Z sono discreti: -2 -1 3 2 1

NUMERI REALI PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 ! Numeri reali: R = Q +  dove  è l’insieme dei numeri irrazionali

DIMOSTRAZIONE Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q primi tra loro tale che: p2/q2=2 p2=2 q2 p è pari, p = 2k 22 k2 = 2 q2 2 k2 = q2 ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.

I NUMERI REALI Assioma di completezza: Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R a A b B si abbia a  b   c  R: a  c  b c prende il nome di elemento separatore. Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta:

GLI INSIEMI NUMERICI Sussiste una precisa relazione di inclusione: N  Z  Q R