NUMERI COMPLESSI E DINTORNI
NUMERI REALI L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di 2 numeri reali è un numero reale. Non vale il viceversa!
NUMERI COMPLESSI Sia , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo. Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:
NUMERI COMPLESSI Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo: L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.
NUMERI COMPLESSI Siano dati due numeri complessi SOMMA: DIFFERENZA: PRODOTTO:
NUMERI COMPLESSI Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero: Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):
NUMERI COMPLESSI QUOZIENTE:
COORDINATE POLARI P ha coordinate cartesiane (1, 1) Le coordinate polari di P sono: Nell’esempio:
COORDINATE POLARI Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: si osservi che:
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:
RICORDI DI TRIGONOMETRIA Formule di somma e sottrazione:
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Dato il numero complesso z: e il numero complesso v : Il prodotto tra z e v è:
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI In particolare se z=v si ottiene: e in generale: Sono util le Formule di De Moivre: