Da 2 a 3 dimensioni La terza coordinata z

Aggiungiamo un asse

Nel piano…

Nello spazio…

Nello spazio: piani particolari

Retta nel piano Piano nello spazio Forma implicita ax +by +c =0 Forma esplicita y= mx+q r) ax +by +c =0 s) a’x +b’y +c’ =0 r e s parallele a/b=a’/b’ ossia a/a’ = b/b’ r e s perpendicolari a/b=-b’/a’ ossia aa’+bb’=0 Forma implicita ax+by+cz+d=0 Forma esplicita z= mx+ny+q α) ax +by +cz+d =0 β) a’x +b’y +c’a+d’=0 α e β paralleli a/a’= b/b’=c/c’ α e β perpendicolari aa’+bb’+cc’=0

Nello spazio: piani particolari

Esercitiamoci Pagg. 1104-1105 numeri 12, 19, 25 e 26

I vettori: cosa individuano nel piano? r: 3x-y+5 = 0 il vettore v (3, -1) è perpendicolare alla retta r

I vettori: cosa individuano nel piano? r: 3x-y+5 = 0 il vettore v’(1, 3) individua invece la direzione di r

I vettori: cosa individuano nel piano? r: 3x-y+5 = 0 il prodotto scalare v’· v = (a·a’+ b·b’) =(1·3 + 3·(-1)) = 0 Condizione di perpendicolarità v (3, -1)=(a,b) v’(1, 3)=(a’,b’)

I vettori: cosa individuano nello spazio? α: 3x-y+2z +5 = 0 per analogia il vettore v (3, -1, 2) è perpendicolare al piano α

Posizione rette nel piano parallele perpendicolari Quando i vettori direzione v(a, b) e w(a’, b’) sono paralleli m=m’ ossia b/a = b’/a’ ossia a/a’= b/b’ Quando i vettori direzione v(a, b) e w(a’, b’) sono perpendicolari m= -1/m’ ossia v·w = 0 ossia a·a’ + b·b’ = 0

Posizione piani nello spazio paralleli perpendicolari α: ax+by+cz+d=0 β: a’x+b’y+c’z+d’=0 quando i vettori “normali” ai piani α e β v(a, b, c) e w(a’, b’, c’) sono paralleli, ossia a/a’= b/b’= c/c’ α: ax+by+cz+d=0 β: a’x+b’y+c’z+d’=0 quando i vettori “normali” ai piani α e β v(a, b, c) e w(a’, b’, c’) sono perpendicolari, ossia v·w=0 ossia a·a’ + b·b’ + c·c’ = 0

Nello spazio: punto - piano Nel piano: punto - retta Distanze Nello spazio: punto - piano Nel piano: punto - retta

Esercitiamoci Stabilire la posizione reciproca tra due piani: x-3y+2z=1 e 2x-6y+4z=2 x-3y+2z+5=0 e 3x-y+2z=0 Scrivi l’equazione del piano per P(-3,2,4) e parallelo al piano 3x-2y-z-5=0 Scrivi l’equazione del piano passante per l’origine, per P(2,-4,3) e perpendicolare al piano x-2y-z-1=0

Rette nello spazio

Rette nello spazio

Posizione rette nello spazio parallele perpendicolari Quando i vettori direzione v(l,m,n) e w(l’, m’,n’) sono paralleli, ossia l/l’=m/m’=n/n’ Quando i vettori direzione v(l,m,n) e w(l’, m’,n’) sono perpendicolari, ossia l·l’=m·m’=n·n’

Posizione retta + piano Una retta r e un piano α sono paralleli quando i vettori direzione (retta) v(l,m,n) e Il vettore w(a,b,c) normale al piano α sono perpendicolari, ossia l·a + m·b + n·c = 0

Posizione retta + piano Una retta r e un piano α sono perpendicolari quando i vettori direzione (retta) v(l,m,n) e Il vettore w(a,b,c) normale al piano α sono paralleli, ossia l/a = m/b = n/c

Circonferenza e Sfera Nel piano Nello spazio La circonferenza è il luogo dei punti P(x, y) equidistanti da un punto fisso detto centro. Tale distanza è il raggio r della circonferenza La sfera è il luogo dei punti P(x, y, z) equidistanti da un punto fisso detto centro. Tale distanza è il raggio r della sfera

Intersezione sfera - piano L’intersezione di una sfera S di centro C e raggio R con un piano α è una circonferenza γ Per determinare raggio r e centro A di γ occorre tener presente che: la retta per C e perpendicolare ad α, passa per A CA è la distanza di C dal piano α

Quesito 7 simulazione Trovare l'equazione del piano tangente alla superficie sferica avente come centro l'origine e raggio 2, nel suo punto di coordinate (1,1,z), con z negativa.