GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO GEOMETRIA IV B GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO GEOMETRIA: È quella parte della matematica che si occupa della forma e dell’estensione delle figure e delle relazioni e trasformazioni che le caratterizzano.

CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI UNITA’ 1 CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

Nei primi anni di scuola si studia la geometria intuitiva il cui scopo è quello di intuire le proprietà degli enti geometrici attraverso l’osservazione e l’esperimento su corpi reali o modelli fisici. Negli anni successivi si passa allo studio della geometria razionale, che altro non è che la geometria intuitiva precisata nei suoi concetti e nei suoi procedimenti La geometria razionale è impostata come una scienza ipotetico-deduttiva, cioè una scienza la cui costruzione procede nel modo seguente: Si introducono alcuni oggetti detti enti primitivi o fondamentali, e si suppone che essi verifichino alcune proprietà dette assiomi o postulati; a partire dagli enti fondamentali e dagli assiomi si deducono proposizioni dette teoremi. Un teorema è quindi un’affermazione di cui bisogna controllare la verità mediante un ragionamento che si dice dimostrazione. La dimostrazione di un teorema è costituita da una sequenza di affermazioni che, partendo dall’ipotesi, conducono alla tesi.

Concludendo GEOMETRIA Può essere INTUITIVA RAZIONALE Parte da Si basa su CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI Definiti mediante

Concetti o enti primitivi Enti che non definiamo esplicitamente Assiomi o postulati Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo. Proposizioni (affermazioni) che esprimono proprietà degli enti geometrici talmente evidenti che non è necessario dimostrarli ESEMPI: Per due punti passa una ed una sola retta Per un punto passano infinite rette Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano Teoremi I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema, mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate, vale a dire dei risultati di altri teoremi.

GEOMETRIA Può essere INTUITIVA RAZIONALE

INTUITIVA Si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI

Parte da Definiti mediante CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI GEOMETRIA RAZIONALE Parte da Definiti mediante CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI

CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI Da cui si deducono Mediante dimostrazioni Mediante definizioni NUOVE PROPRIETA’ (TEOREMI) NUOVI ENTI

DALLA GEOMETRIA INTUITIVA ALLA GEOMETRIA RAZIONALE

Concetti o enti primitivi Enti che non definiamo esplicitamente Assiomi o postulati Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo

Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di : COMPATIBILITA’ (non devono contraddirsi l’uno con l’altro) INDIPENDENZA (dalle proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro)

ENTI GEOMETRICI PRIMITIVI Gli enti primitivi della Geometria sono: PUNTI P r RETTE  PIANI

ASSIOMI - Su di una retta esistono infiniti punti - Due punti distinti determinano una retta ed una sola che li contiene - I punti della retta sono ordinati secondo due versi o sensi opposti l’uno all’altro. In ciascuno di questi due versi della retta non vi è né primo né ultimo punto; inoltre tra due qualsiasi punti distinti di essa esistono altri punti intermedi A B

Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano Tre punti distinti che non appartengono ad una medesima retta determinano un piano ed uno solo che li contiene

ALCUNE DEFINIZIONI SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto. O Il punto è detto : origine delle semirette

SEGMENTO: la parte di retta compresa tra due suoi punti B I punti vengono detti gli estremi del segmento

SEGMENTI PARTICOLARI Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto C A B Segmenti ADIACENTI : due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta A B C

SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano  r

ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l’origine in comune  Angolo convesso Angolo concavo  Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

ANGOLI PARTICOLARI Angolo PIATTO : un lato è il prolungamento dell’altro ( 180 °) Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360°)

Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in comune il vertice, un lato e nessun altro punto  

Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni l’uno il prolungamento dell’altro

Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro

CONFRONTO E SOMMA DI SEGMENTI Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro b a a + b

a a < b b Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, l’altro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore.

CONFRONTO E SOMMA DI ANGOLI CONVESSI Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro

Angolo ottuso Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto

Angolo acuto Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto

Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI

Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI

Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI    

POLIGONALE Una figura formata da più segmenti disposti consecutivamente di definisce poligonale Poligonale chiusa Poligonale aperta Poligonale intrecciata

POLIGONO