Maranza Stefano Menozzi Andrea INTEGRALI IMPROPRI Maranza Stefano Menozzi Andrea 5^C Itis Castelli 2014/2015

Premesse:  Salta premesse Definizione di funzione continua  Concetto di limite di una funzione  Primitiva di una funzione  Definizione di integrale indefinito   Salta premesse

Funzione continua Data una funzione f(x) ed un punto x0 appartenente al dominio D sottoinsieme di R della funzione, la funzione f(x) si dice continua nel punto x0 se il limite della funzione per x che tende a x0 coincide col valore della funzione nel punto x0: Una funzione f(x) si dice continua in un intervallo [a, b] se è continua in tutti i punti dell’intervallo.  torna a “premesse” vai a “limite di una funzione” 

Limite di una funzione Il limite di una funzione f(x) di dominio D sottoinsieme di R serve per calcolare il valore della funzione data nell’intorno dei punti di discontinuità della funzione stessa. Possiamo avere a che fare con 4 diversi tipi di limite:  torna a “premesse”  torna a “funzione continua” vai a “primitiva di una funzione” 

Primitiva di una funzione Una funzione F(x) si dice primitiva di f(x) nell’intervallo [a, b] se F(x) è derivabile (una funzione è derivabile in un intervallo se continua in quel dato intervallo) in [a, b] e F’(x)=f(x). Se f(x) ammette una primitiva F(x), allora ammette infinite primitive del tipo F(x) + c con c Є R. torna a “premesse”  torna a “limite di una funzione” vai a “integrale indefinito” 

Integrale indefinito Come visto dalla definizione di primitiva di una funzione, se la funzione f(x) ammette una primitiva F(x), allora ammette infinite primitive del tipo F(x) + c. L’integrale indefinito della funzione f(x) è il metodo di ricerca della primitiva di una funzione e consiste nell’insieme di tutte le primitive del tipo F(x) + c con c numero reale qualunque. Si scrive: Una funzione f(x), come per quanto concerne la derivazione, è integrabile se continua nell’intervallo [a, b].  torna a “premesse”  torna a “primitiva di una funzione” vai a “indice” 

Integrale di Riemann  Problemi con integrale di Riemann  Integrale improprio TIPO 1  Integrale improprio TIPO 2  Teorema del confronto 

Integrale di Riemann Gli integrali di Riemann sono definiti in molti casi. Per questo motivo, data una funzione f(x) continua in un intervallo [a, b], l’integrale di Riemann esiste ed è il seguente: Dove A è il risultato dell’integrale di Riemann nell’intervallo [a, b] e corrisponde ad un valore esistente e finito.  torna a “indice” vai a “problemi con l’integrale di Riemann” 

Problemi con l’integrale di Riemann La definizione di integrale di Riemann prevede che l’intervallo [a, b] sia definito, che a e b siano due valori reali. Se invece uno dei due tendesse a infinito o meno infinito ? O se la funzione non fosse continua in tutti i punti dell’intervallo ? I matematici si sono posti il problema ed hanno sviluppato l’integrale di Lebesque, complicato ed aggirabile grazie ad una delle premesse precedenti, il concetto di limite. Applicando appunto la definizione di limite ad un integrale in un intervallo non finito, si potrà calcolare il valore nell’intorno del punto di discontinuità della funzione o per un valore che tende ad infinito.  torna a “indice”  torna a “Integrale di Riemann” vai a “integrale improprio di tipo 1” 

Integrale improprio di TIPO 1 Data una funzione f(x) definita e derivabile nell’intervallo [a, +∞), sia t > a, se per ogni t la funzione f(x) è integrabile nell’intervallo [a, t] e se il seguente limite esiste: allora l’integrale improprio è definito e coincide con il valore del limite per t che tende a infinito dell’integrale della funzione f(x) nell’intervallo [a, t]: =  torna a “indice” torna a “problemi con l’integrale di Riemann” vai a “esempio tipo 1” 

Esempio TIPO 1 Prendiamo come esempio l’integrale: dove p >1 è un numero reale. Quindi, per ogni t > 1, l’integrale dato esiste e vale: Siccome p > 1, allora, se t tende ad infinito, il limite esiste ed ha come valore 0. Di conseguenza, l’integrale improprio esiste ed ha come risultato: . Caso particolare, se p = 1, allora si avrà Non tutti gli integrali impropri però possono essere definiti. (es, integrale di sen(x), cos(x) o ln(x)  torna a “indice”  torna a “integrale improprio di tipo 1” vai a “integrale improprio di tipo 2” 

Integrale improprio di TIPO 2 Il secondo tipo di integrali impropri prevede invece un intervallo limitato [a, b]. Si ha una funzione f(x) definita nell’intervallo [t, b] per ogni a < t <b, ma la stessa funzione è indefinita nell’intervallo [a, b]. Di conseguenza, seguendo la definizione data da Riemann, l’integrale non è definito. Tuttavia, può essere che per ogni a < t < b, l’integrale sia invece definito. Ponendo t  a+, si calcola dunque il limite della funzione nell’intervallo [a+, b] Allo stesso modo, nel caso in cui la funzione sia definita nell’intervallo [a, t] per ogni a < t < b, si considererà t  b- nel calcolo del limite.  torna a “indice” torna a “esempio tipo 1” vai a “esempio tipo 2” 

Esempio TIPO 2 Prendiamo come esempio l’integrale precedente, nell’intervallo [0, 1]: considerando p come numero reale e 0 < p < 1. L’integrale non è definito nell’intervallo [0, 1] poichè la funzione non è continua nel caso in cui p valga 0. Consideriamo ora 0 < t < 1 dove t è numero reale, e calcoliamo l’integrale nell’intervallo [t, 1] dove t  0+ l’integrale esiste e vale Di conseguenza, l’integrale improprio esiste ed ha come risultato:  torna a “indice”  torna a “integrali impropri di tipo 2” vai a “teorema del confronto” 

Teorema del confronto allora  Una delle domande che ci si può porre è: quando un integrale improprio è definito ? E’ come chiedersi, quando un limite è definito. Funziona nella stessa maniera, poichè gli integrali impropri finiscono col coincidere con dei limiti. Esistono due regole di convergenza dei limiti: Sia c un numero reale, supponiamo di avere tre funzioni f(x), g(x) ed h(x) definite in un intorno di c che chiamiamo I: allora  Le tre funzioni devono essere definite ed equivalenti nell’intorno del punto c, sapendo che il limite per x  c di f(x) e h(x) tende ad l, allora anche il limite della funzione g(x) coincideràcon quelli delle altre due funzioni  torna a “esempio tipo 2” vai a “fine” 

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