Grandezze omogenee La Misura

Misurare una grandezza significa confrontarla con un’altra scelta come un’unità di misura e associare ad essa, mediante il confronto, un numero che permetta di ricostruire la grandezza data.

U A B AB=3U 3 è la misura di AB rispetto ad U Ad ogni grandezza AB possiamo associare una misura?

Ma se con la misura U non ricopriamo interamente AB…. U A1 B B1 A AA1 < AB < AB1 3U < AB < 4U

Dividiamo U in parti più piccole , ad esempio in dieci parti. U1=U/10 U1 A1 B1 A B AB=36U1 = 3,6 U

Ma se nemmeno con la misura U1 ricopriamo Interamente AB…. U1 A2 B2 A1 B1 A B AA1 < AA2 < AB < AB2 < AB1

Possiamo continuare questo procedimento e possono verificarsi due casi: Il procedimento ha termine…abbiamo trovato la misura di AB rispetto un sottomultiplo di U Ad esempio AB=3,678 U Il procedimento non ha termine….

Nel secondo caso determino due insiemi di grandezze - AA1, AA2, AA3, AA4,…. AB1, AB2, AB3, AB4,…. A2 A3 B3 B2 A1 B B1 A Tali che le misure delle prime sono tutte più piccole delle misure delle seconde ( infatti i punti A1, A2, A3…precedono tutti i punti B1, B2, B3….)

Quale sarà la misura di AB? Un numero tale da essere o il massimo delle misure della prima classe o il minimo delle misure della seconda classe. A2 A3 B3 B2 A1 B B1 A Esiste tale numero?

Richiamo : Postulato di Dedekind (continuità della retta) “Due parti complementari e separate di una retta hanno sempre l’elemento di separazione” Complementari: l’unione da tutta la retta Separate: ogni punto della prima precede i punti della seconda Elemento separatore: l’ultimo punto della prima parte o il primo della seconda

Postulato di Dedekind per le grandezze “Divisa una classe di grandezze in due insiemi complementari e separati, o il primo insieme ha massimo o il secondo insieme ha minimo.” A2 A3 B3 B2 A1 B B1 A Quindi la misura di AB esiste ed è o la grandezza massima del primo insieme o la grandezza minima del secondo….

Questo numero può essere: Un numero razionale Un numero irrazionale Ad ogni grandezza quindi possiamo associare un numero reale che è la sua misura rispetto ad una unità di misura U. AB=rU con r numero reale

Grandezze commensurabili e incommensurabili Grandezze omogenee Grandezze commensurabili e incommensurabili

Def. : Due grandezze aventi un sottomultiplo in comune si dicono commensurabili. AB/n=CD/m con n e m naturali In questo caso AB=n/m CD Ovvero se due grandezze sono commensurabili la misura di una rispetto all’altra è un numero razionale.

Teorema Il lato del quadrato e la sua diagonale non sono commensurabili. d l

Def. : Due grandezze (della stessa specie) si dicono incommensurabili quando non hanno sottomultipli comuni. In questo caso la misura di una rispetto all’altra è un numero irrazionale AB = i CD (i numero irrazionale)