Il linguaggio della geometria I termini primitivi della geometria sono: Punto Retta Piano P α r Indichiamo per convenzione: I punti con le lettere maiuscole dell’alfabeto: A, B, C, D… Le rette con le lettere minuscole: r, s, t… I piani con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: α, β, γ…

a b Il metodo della geometria In geometria si applica il metodo assiomatico-deduttivo Si assumono alcuni concetti come primitivi: punto, retta, piano Si assumono come vere alcune proposizioni: assiomi Si definiscono i nuovi oggetti della geometria: definizioni Dagli assiomi e dai concetti primitivi si deducono le altre proposizioni (teoremi) mediante un ragionamento strutturato (dimostrazione). Un teorema si esprime mediante una frase del tipo “Se..........................allora”. << HP >> IPOTESI << TH >> TESI Indicato con a l’insieme delle ipotesi e con b la tesi, è comodo sintetizzare in forma simbolica un teorema mediante la scrittura a b che significa: dalle ipotesi a segue la tesi b.

A, B, C non sono allineati. Assiomi di appartenenza A1. Ogni coppia di punti A e B distinti dello spazio appartiene ad una e una sola retta. Punti che appartengono ad una stessa retta si dicono allineati. A B C A B C A, B, C non sono allineati. A2. Tre punti non allineati appartengono ad uno ed un solo piano. A3. Se due punti di una retta appartengono ad un piano, la retta giace interamente sul piano. A4. Il piano contiene infiniti punti ed infinite rette. A5. Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani. Si dice figura geometrica un qualunque sottoinsieme dello spazio, quindi un qualunque insieme di punti.

Si dicono complanari due rette che appartengono allo stesso piano. Rette complanari Si dicono complanari due rette che appartengono allo stesso piano. Posizioni reciproche di due rette complanari: Rette coincidenti r s Rette incidenti: hanno un solo punto di intersezione r s A Rette parallele: non hanno alcun punto di intersezione r s

Assiomi di ordinamento Retta orientata: retta su cui è fissato un verso di percorrenza. A6. Presi due punti distinti A e B su una retta tali che, nel verso fissato, A precede B, accade che: vi è almeno un punto che segue A e precede B vi è almeno un punto che precede A vi è almeno un punto che segue B. A B P Dall’assioma possiamo dedurre che: la retta contiene infiniti punti ed è illimitata per un punto P passano infinite rette. L’insieme di tutte le rette che passano per P si dice fascio proprio di centro P.

Semirette e segmenti Gli assiomi introdotti ci permettono di dare le seguenti definizioni: Data una retta orientata e fissato un punto P su di essa, si chiama semiretta l’insieme formato dal punto P e da tutti quelli che lo seguono, oppure l’insieme formato dal punto P e da tutti quelli che lo precedono; il punto P si dice origine della semiretta. P Considerati due punti A e B su una retta orientata, si dice segmento l’insieme dei punti A e B e di tutti quelli che sono compresi fra essi. I punti A e B si dicono estremi del segmento. B A Un segmento nel quale gli estremi coincidono si dice segmento nullo. Un segmento non nullo contiene infiniti punti. B A C Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune. B A C Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.

Segmenti consecutivi e adiacenti A7. (assioma di partizione del piano) Sia r una retta di un piano e siano A e B due punti del piano; allora: se A e B appartengono alla stessa regione, il segmento AB non interseca la retta r se A e B appartengono a regioni diverse, il segmento AB interseca la retta r. Possiamo allora dare la seguente definizione: data una retta r su un piano α, si dice semipiano di origine r ciascuna delle due regioni individuate da r su α. La retta r si dice origine o frontiera del semipiano.

Angoli In conseguenza dell’assioma di partizione si può dare la definizione di angolo. Si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui due semirette che hanno l’origine in comune dividono il piano. Le due semirette si dicono lati dell’angolo, l’origine comune si dice vertice. Un angolo è convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati; è concavo se li contiene. Modi per indicare un angolo: se le semirette che definiscono l’angolo si chiamano a e b, si può scrivere ab. se si individuano due punti sui lati dell’angolo, uno per ogni lato, si può scrivere AVB, mettendo la lettera del vertice fra le altre due. si può usare una lettera dell’alfabeto greco: α, β, γ, …..; tale lettera viene di solito indicata anche all’interno dell’angolo.

Angoli consecutivi e adiacenti Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice in comune e se gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto al lato comune. Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e se i loro lati non comuni appartengono alla stessa retta.

Angoli Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte; l’angolo piatto si indica di solito con la lettera greca π. Un angolo i cui lati sono semirette sovrapposte si dice angolo giro se è concavo, angolo nullo se è convesso. Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati del primo sono i prolungamenti dei lati dell’altro. Corda di un angolo convesso è il segmento che ha gli estremi sui due lati dell’angolo.

Congruenza Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando esiste un movimento rigido che le sovrappone punto a punto; in simboli si scrive F1 ≅ F2 I punti delle due figure sono in questo modo in corrispondenza biunivoca. A8. La relazione di congruenza è: riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa simmetrica: se F1 ≅ F2 anche F2 ≅ F1 transitiva: se F1 ≅ F2 e F2 ≅ F3 allora F1 ≅ F3.

Congruenza A9. (assioma del trasporto dei segmenti). Dato un segmento AB ed una semiretta di origine O, esiste sulla semiretta ed è unico un punto P in modo che il segmento OP sia congruente al segmento AB. A10. (assioma del trasporto degli angoli). Dato un angolo ab ed una semiretta c esiste ed è unica la semiretta d tale che l’angolo cd, nell’orientamento orario oppure antiorario prefissato, sia congruente all’angolo ab.

Confronto di segmenti Attraverso la relazione di congruenza si può definire la lunghezza di un segmento come la caratteristica comune a tutti i segmenti tra loro congruenti. Se vogliamo confrontare due segmenti AB e CD è necessario sovrapporli con un movimento rigido in modo da far coincidere uno dei loro estremi, per esempio A con C; possono allora verificarsi tre situazioni diverse: il punto B coincide con D ed allora i due segmenti sono congruenti il punto B cade oltre D ed allora diciamo che AB è maggiore di CD e scriviamo AB > CD il punto B cade fra C e D ed allora diciamo che AB è minore di CD e scriviamo AB < CD.

Somma e differenza di segmenti Dati due segmenti AB e CD, la loro somma è il segmento AD che si ottiene accostando CD ad AB con un movimento rigido in modo che AB e CD siano adiacenti. Dati due segmenti AB e CD, con AB > CD, la differenza AB − CD è il segmento DB che si ottiene sovrapponendo AB e CD in modo che A coincida con C. Somme o differenze di segmenti congruenti sono congruenti.

Multipli e sottomultipli Dato un segmento AB ed un numero naturale n non nullo, si dice multiplo di AB secondo n il segmento CD che si ottiene facendo la somma di n segmenti congruenti ad AB. Si dice anche che AB è sottomultiplo di CD secondo n. CD è multiplo di AB secondo il numero 3. La divisibilità di un segmento in un qualunque numero di parti congruenti è assicurata dal seguente assioma: A11. Dato un segmento AB esiste sempre ed è unico il suo sottomultiplo secondo un numero naturale n non nullo. In particolare: dato un segmento AB esiste ed è unico il punto medio di AB, cioè il punto che divide il segmento in due parti congruenti AM ≅ MB.

Confronto fra angoli Attraverso la relazione di congruenza si può definire l’ampiezza di un angolo come la caratteristica comune a tutti gli angoli fra loro congruenti. Se vogliamo confrontare due angoli ab e cd, è necessario sovrapporli con un movimento rigido in modo da far coincidere i vertici e uno dei lati, per esempio il lato a con il lato c, in modo che i due angoli si trovino dalla stessa parte rispetto al lato comune; possono allora verificarsi tre situazioni diverse: il lato b coincide con il lato d e allora i due angoli sono congruenti.

Confronto fra angoli il lato b è interno all’angolo cd e allora ab è minore di cd e scriviamo ab < cd il lato d è interno all’angolo ab e allora ab è maggiore di cd e scriviamo ab > cd.

Somme e differenze di angoli Dati due angoli ab e cd, la loro somma è l’angolo ad che si ottiene accostando cd ad ab con un movimento rigido in modo che tali angoli siano consecutivi. Dati due angoli ab e cd, con ab > cd, la loro differenza è l’angolo db che si ottiene sovrapponendo con un movimento rigido cd ad ab come nel caso del loro confronto.

Multipli e sottomultipli Dato un angolo ab ed un numero naturale n non nullo, si dice multiplo di ab secondo n l’angolo cd che si ottiene facendo la somma di n angoli congruenti ad ab. Si dice che ab è sottomultiplo di cd secondo n. cd è multiplo di ab secondo il numero 4. La divisibilità di un angolo in un qualunque numero di parti congruenti è garantita dal seguente assioma: A12. Dato un angolo ab esiste sempre ed è unico il suo sottomultiplo secondo un numero naturale n non nullo. In particolare: dato un angolo ab esiste ed è unica la bisettrice di ab che divide l’angolo in due parti congruenti: ar ≅ rb.

Angoli particolari Si dice angolo retto ciascuno dei due angoli in cui un angolo piatto è diviso dalla sua bisettrice Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono supplementari Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono complementari

Angoli particolari Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono esplementari. Un angolo minore di un angolo retto si dice acuto. Un angolo convesso maggiore di un angolo retto si dice ottuso; un angolo ottuso è quindi maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.

Proprietà degli angoli Teorema. Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti. Teorema. Angoli opposti al vertice sono congruenti. Teorema. Metà di angoli congruenti sono congruenti.