INTERVALLI E INTORNI INTERVALLI INTORNI PUNTI PER UN INSIEME Prerequisiti: - Insiemi - Disequazioni

Definizione 1 Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiama: INTERVALLI LIMITATI Definizione 1 Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiama: INTERVALLO APERTO ] a , b [ l’insieme dei numeri reali x tali che a < x < b a b INTERVALLO CHIUSO [ a , b ] l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x ≤ b a b INTERVALLO APERTO A DESTRA [ a , b [ l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x < b a b INTERVALLO APERTO A SINISTRA ] a , b ] l’insieme dei numeri reali x tali che a < x ≤ b a b INTERVALLI E INTORNI 1/5

INTERVALLI ILLIMITATI Definizione 2 Dato un numero reale a qualsiasi, si chiama: INTERVALLO ILLIMITATO SUPERIORMENTE l’insieme dei numeri reali x tali che x ≥ a [ a , + [ a INTERVALLO ILLIMITATO INFERIORMENTE l’insieme dei numeri reali x tali che x ≤ a ] - , a ] a Osservazione 1 Un intervallo limitato è in corrispondenza con i punti di un segmento Un intervallo illimitato è in corrispondenza con i punti di una semiretta L’intervallo ] - , + [ è in corrispondenza con i punti di una retta e rappresenta l’insieme dei numeri Reali INTERVALLI E INTORNI 2/5

INTORNO COMPLETO del punto c INTORNI Definizione 3 Si chiama: INTORNO COMPLETO del punto c un qualsiasi intervallo aperto che contenga c a c b INTORNO DESTRO del punto c un qualsiasi intervallo aperto che abbia c come estremo sinistro c b INTORNO SINISTRO del punto c un qualsiasi intervallo aperto che abbia c come estremo destro a c Proprietà 1 L’intersezione di due intorni di un punto c è ancora un intorno dello stesso punto c c INTERVALLI E INTORNI 3/5

Se esiste un intorno di c interamente contenuto in ( a , b) a c b PUNTI Definizione 4 Dato un intervallo ( a , b) di qualsiasi natura e un punto c, si dice che c è un punto: INTERNO per ( a , b) Se esiste un intorno di c interamente contenuto in ( a , b) a c b ESTERNO per ( a , b) Se esiste un intorno di c non contenuto in ( a , b) c a b DI FRONTIERA per ( a , b) Se non è né interno e né esterno per ( a , b) c = a b DI ACCUMULAZIONE per ( a , b) Se in ogni intorno di c cadono punti di ( a , b) distinti da c INTERVALLI E INTORNI 4/5

l l + ε l - ε l PUNTI Definizione 4 Dato un intervallo ( a , b) di qualsiasi natura e un punto c, si dice che l è: ESTREMO INFERIORE per ( a , b) se 1. x ≥ l  x є ( a , b) 2.  ε > 0 esiste x є [l , l + ε ] l x l + ε x b ESTREMO SUPERIORE per ( a , b) se 1. x ≤ l  x є ( a , b) 2.  ε > 0 esiste x є [ l - ε , l ] a x l - ε x l Se l’estremo inferiore appartiene ad ( a , b) il punto di dice che è il MINIMO Se l’estremo superiore appartiene ad ( a , b) il punto di dice che è il MASSIMO INTERVALLI E INTORNI 5/5