Definizione (rigorosa) di limite Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende al limite finito l e si scrive : Se per

Se x0 è arbitrariamente grande Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive : +∞ + ∞ Se per

Definizione (rigorosa) di limite Asintoto orizzontale In questo caso la retta orizzontale di equazione y=l si dice asintoto orizzontale per la funzione f(x) per x→+ ∞

Se x0 è arbitrariamente grande e negativo Si dice che per x tendente a - ∞ la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive : Se per

Definizione (rigorosa) di limite Asintoto orizzontale In questo caso la retta orizzontale di equazione y=l si dice asintoto orizzontale per la funzione f(x) per x→- ∞

Se x0 è arbitrariamente grande o positivo o negativo Si dice che per x tendente a ∞ la funzione tende al limite finito l e si scrive : Se per Equivale a x>K se x>0 e x<-K se x<0

Definizione (rigorosa) di limite Asintoto orizzontale In questo caso la retta orizzontale di equazione y=l si dice asintoto orizzontale per la funzione f(x) per x→ ∞

Se l è arbitrariamente grande e positivo Si dice che per x tendente a x0 la funzione (diverge positivamente) tende a + ∞ e si scrive : f(x)>M Se per

Asintoto verticale (p.154)

Se l è arbitrariamente grande e negativo Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende a - ∞ (diverge negativamente) e si scrive : f(x)<-M Se per

Asintoto verticale (p.154)

Se l è arbitrariamente grande Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende a ∞ (diverge) e si scrive : |f(x)|>M Se per

Asintoto verticale (p.154)

Se x0 e l sono arbitrariamente grande Si dice che per x tendente a ∞ la funzione tende a ∞ e si scrive : |f(x)|>M Se per

Limite sinistro, destro (p.151) Il limite sinistro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da sinistra. Per ricordarlo si scrive

Limite sinistro, destro (p.151) Il limite destro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da destra. Per ricordarlo si scrive

Teorema: se il limite esiste, allora esistono anche il limite sinistro, il limite destro e coincidono. Conseguenze: Il limite non esiste se: il limite sinistro non esiste il limite destro non esiste esistono entrambe, ma hanno valori diversi.

Asintoti obliqui Un asintoto obliquo è una retta non orizzontale e non verticale cui la funzione si avvicina indefinitivamente per x che tende o a + ∞ o a –∞ o in entrambe i casi

Asintoti obliqui L’asintoto obliquo ha equazione y=mx+n La funzione f(x) ha un asintoto obliquo se risulta: Possiamo trovare m ed n nel modo seguente

Asintoti obliqui Dal limite Dividendo per x abbiamo Portando n a destra abbiamo N.B. il discorso vale anche per x→-∞

Proprietà dei limiti (p.155) Teorema della permanenza del segno In forma diretta Se per x tendente a x0 la funzione tende ad un limite finito l diverso da zero, allora esiste un intorno di x0 nel quale la f(x) ha lo stesso segno di l l x0

Proprietà dei limiti (p.155) Teorema della permanenza del segno In forma inversa: Se in tutti i punti vicini ad x0 la funzione è strettamente positiva allora il limite è non negativo (esempio: parabola) x0

Proprietà dei limiti (p.155) Teorema carabinieri Se due funzioni f(x) e g(x) per x tendente a x0 ammettono lo stesso limite l e se in un intorno di x0 si ha f(x) h(x)  g(x) allora anche h(x) converge a l in x0 x0

Proprietà dei limiti (p.155) Il limite di somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni È dato da somma, differenza, prodotto, quoziente dei limiti (eccetto il caso in cui il limite della funzione al denominatore è nullo)

f(x)g(x), x in un intorno di x0 Teorema del confronto Sia f:A→R e g:B → R, sia x0 punto di accumulazione per A. Se esiste un intorno di x0 nel quale le funzioni sono entrambe definite tale che f(x)g(x), x in un intorno di x0 ed esistono i limiti Allora LM

Se L=+ ∞ allora g ha limite ed esso è + ∞ Attenzione: nel teorema si chiede che esistano entrambi i limiti. L’esistenza del limite deve quindi essere nota a priori. Osservazione: ci sono due casi in cui l’esistenza del limite segue dal teorema precedente: Se L=+ ∞ allora g ha limite ed esso è + ∞ Se M=- ∞ allora g ha limite ed esso è - ∞

Metodi per il calcolo dei limiti

Funzioni continue

Definizione Una funzione f:A→R, con A R si dice continua in x0 punto di accumulazione di A se esiste Se x0 è un punto isolato (e quindi non è di accumulazione) allora, per convenzione, la funzione è continua. Se vale soltanto allora la funzione si dice continua da destra Se vale soltanto allora la funzione si dice continua da sinistra

Le seguenti funzioni sono continue (p.136) Bisogna dimostrare che è verificata la definizione di funzione continua f(x)=k f(x)=2x-3 (p.135) f(x)=mx+n (tutte le rette) f(x)=x^2 Le potenze I polinomi Le funzioni razionali fratte con l’eccezione dei punti in cui il denominatore si annulla

Teorema di Weierstrass Se f(x) è continua un [a,b] allora è sempre dotata di minimo e di massimo ed assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo Osservazione: [a,b] è un intervallo chiuso e limitato. Tali intervalli prendono il nome di compatti.