6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO (ultima modifica 19/11/2012) Le funzioni temporali relative alle grandezze che definiscono un campo dipendono dalle funzioni delle sorgenti  e . In ingegneria le funzioni delle sorgenti sinusoidali nel tempo hanno una larga applicazione, infatti: tutte le funzioni periodiche nel tempo possono essere sviluppate in serie di Fourier di componenti armoniche sinusoidali e le funzioni transitorie non periodiche possono essere espresse come integrali di Fourier. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO Poichè le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali lineari, le variazioni sinusoidali nel tempo delle funzioni sorgenti per una data frequenza, produrranno variazioni sinusoidali di e con la stessa frequenza in regime permanente. Per i sistemi lineari con funzioni sorgenti variabili nel tempo con andamento che soddisfi le condizioni di Dirichlet, i campi elettrodinamici possono essere determinati in funzione di quelli generati dalle componenti alle diverse frequenze delle funzioni sorgenti. Infatti per i sistemi lineari, è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti , determinando in tal modo il campo totale dovuto ai contributi di tutte le componenti. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO I campi armonici nel tempo sono i campi che variano con legge periodica sinusoidale. Le grandezze che li caratterizzano sono convenientemente espresse con la notazione fasoriale. I vettori di campo che variano con le coordinate spaziali e variano nel tempo con legge sinusoidale, possono essere rappresentati con fasori vettoriali, che dipendono dalle coordinate spaziali, ma non dal tempo. Per esempio un campo armonico nel tempo riferito a una cosinusoide, può essere espresso come: ossia come un fasore definito in direzione, modulo e fase. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

Rappresentazione cosinusoidale Infatti una funzione sinusoidale E(t)=EM sin(t+) o cosinusoidale E(t)=EMcos(t+), è completamente definita da tre parametri (ampiezza EM, pulsazione , fase ). Le operazioni con le grandezze sinusoidali possono semplificarsi trasformando: l’insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme di funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca. Rappresentazione cosinusoidale Rappresentazione complessa M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO Rappresentazione cosinusoidale Rappresentazione complessa   ricordando che si ha: __________________________________________________________ Infatti se si ha: M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO   E(t)=EMcos(t+) E‘(t)=EMsen(t+) (t+) M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO I fasori sono grandezze complesse per cui: se il campo é rappresentato da un fasore , allora e l’operatore derivata e l’operatore integrale di un fasore, si potranno rappresentare moltiplicando e dividendo rispettivamente il fasore per j  : E in generale derivate e integrali temporali di ordine superiore potranno essere rappresentati rispettivamente moltiplicando e dividendo il fasore per potenze superiori di j. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO Le equazioni di Maxwell per le grandezze armoniche nel tempo in termini di fasori di campo e fasori di sorgente in un mezzo lineare, isotropo e omogeneo: Le equazioni delle onde armoniche nel tempo per il potenziale scalare V e il potenziale vettore diventano rispettivamente: esse sono le equazioni di Helmholtz non omogenee. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

CAMPI ARMONICI NEL TEMPO La condizione di Lorentz per i potenziali per i campi armonici nel tempo diventa: Le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le grandezze armoniche nel tempo si ottengono dalle equazioni: ossia: M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO Le espressioni del potenziale scalare ritardato e del potenziale vettoriale ritardato dovute alle sorgenti armoniche ρ e possono essere ulteriormente semplificate se . Infatti essendo lo sviluppo in serie di Taylor del fattore esponenziale uguale a: dove k può essere espresso i funzione della lunghezza d’onda del mezzo: quindi se o se , l’esponenziale può essere approssimato a 1. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO Quindi se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda , le formule si riducono a quelle valide in condizioni quasi statiche: Ciò verifica la generalità e la validità del metodo. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO La procedura formale per la determinazione dei campi elettrici e magnetici dovuti a correnti e distribuzioni di cariche armoniche é la seguente: 1) determinazione di V(R,t) e in funzione di ρ e dalle equazioni: 2) calcolo delle grandezze di campo fasoriali: 3) calcolo delle grandezze nel dominio del tempo (valori istantanei) con riferimento al coseno : Il grado di difficoltà del problema dipende dalla difficoltà di risoluzione delle integrazioni al punto 1). M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

Campo armonico nello spazio privo di sorgenti In un mezzo semplice non conduttore, privo di sorgenti: Le equazioni di Maxwell si riducono alle seguenti: M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO Analogamente ai campi non armonici, queste equazioni possono essere combinate per ottenere equazioni del secondo ordine alle derivate parziali espresse in funzione della singola Infatti per le proprietà dei vettori, per il campo si ottiene, essendo: M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

Analogamente per il campo M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

Le equazioni vettoriali omogenee ottenute sono le equazioni di Helmholtz per i campi armonici: con: M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO Si noti che se sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in un mezzo semplice caratterizzato da  e , allora anche lo sono se: (***) dove é l’impedenza intrinseca del mezzo. Infatti é facilmente dimostrabile che le equazioni di Maxwell per un mezzo semplice privo di sorgenti, sono invarianti per le trasformazioni lineari specificate nelle relazioni (***). Questa é una affermazione del principio di dualità. Questo principio é una conseguenza della simmetria delle equazioni di Maxwell in un mezzo semplice privo di sorgenti. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

Campo armonico in un mezzo conduttore Se in un mezzo circola una corrente e il mezzo è dissipativo si deve considerare la prima equazione di Maxwell nella forma completa: le altre equazioni rimangono invariate, quindi la permettività diventa complessa. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

Campo armonico in un mezzo conduttore Analogamente occorre tener conto della componente sfasata della magnetizzazione sotto l’influenza di un campo magnetico esterno tempo-variante, per cui alle alte frequenze: Nei materiali ferromagnetici la parte reale è alcuni ordini di grandezza più grande rispetto alla parte immaginaria e quindi l’effetto della parte immaginaria è praticamente trascurabile, → . M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO Quindi nelle equazioni di Maxwell, il valore reale di k in un mezzo dielettrico con perdite, è un numero complesso: Il rapporto é chiamata tangente di perdità perché é una misura della perdita di potenza nel mezzo: c può essere chiamato angolo di perdita. Sulla base della espressione di si può affermare che: un mezzo é detto buon conduttore se  >>  e un mezzo é detto buon isolatore se  >>  . Quindi, essendo =2f , un materiale può essere un buon conduttore alle basse frequenze, ma può avere le proprietà di un dielettrico con perdite, alle alte frequenze. M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

Spettro elettromagnetico Si possono evidenziare due punti fondamentali: le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz sono valide per onde di frequenza qualsiasi . Esse sono state verificate sperimentalmente per tutto lo spettro elettromagnetico ossia per valori della frequenza che vanno da frequenze molto basse, sino ai raggi X e gamma ( f >1024 Hz). In un mezzo privo di perdite tutte le onde elettromagnetiche di un qualsiasi campo di frequenza, si propagano con la stessa velocità, che dipende solo dalla natura del mezzo: In un mezzo con perdite u dipende dalla frequenza M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO Rays X rays Ultraviolet Visible light Infrared mm wave EHF Extremely high frequency SHF Super high frequency UHF Ultra high frequency VHF Very high frequency HF High frequency  MF Medium frequency LF Low frequency VLF Very low frequency ULF Ultra low frequency SLF Super Low frequency ELF Extremely low frequency M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO VL  rays X rays Ultraviolet Visible light Infrared Mm wave EHF Extremely high frequency SHF Super high frequency UHF Ultra high frequency VHF Very high frequency HF High frequency  MF Medium frequency LF Low frequency VLF Very low frequency ULF Ultra low frequency SLF Super Low frequency ELF Extremely low frequency M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

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