Frazioni e problemi

I problemi con le frazioni, siano essi di geometria o di aritmetica, generano a volte negli alunni una serie di difficoltà riconducibili a motivazioni diverse: È poco chiaro il significato di frazione; Difficoltà nell’individuare l’unità frazionaria; Difficoltà nel collegare la frazione con una grandezza data; Altre … . Con questa presentazione si vuole cercare di fare un po’ d’ordine in questo ambito della matematica, riconducendo le molteplici situazioni problematiche che si possono incontrare ad un numero limitato di casi.

Significato di frazione Iniziamo però dalla frazione e dal suo significato: La frazione è un operatore che divide un intero in tante parti uguali (denominatore) e ne prende in considerazione un certo numero (numeratore). Il significato di operatore è quello che attraverso la frazione si può dividere l’intero e prenderne un certo numero di parti. La frazione permette quindi di operare sull’intero.

In quanti modi diversi abbiamo operato sull’intero? 4 Che frazione rappresentano le parti bianche delle quattro figure? ¼ Le parti bianche delle quattro figure sono congruenti? No Sono equivalenti? Si

Come possiamo chiamare la parte bianca delle figure precedenti Come possiamo chiamare la parte bianca delle figure precedenti? Unità frazionaria, ossia una delle n parti (nel nostro caso quattro) in cui abbiamo diviso l’intero. Possiamo sapere quanto misura la superficie (o area) della nostra unità frazionaria? No! Abbiamo bisogno di una grandezza (un ulteriore dato) sul quale operare con la nostra frazione. Di quale dato avrei bisogno per calcolare l’area della nostra unità frazionaria? Lato del quadrato, area del quadrato, ecc.

Facciamo alcuni esempi di dati mancanti, sui quali operare con una frazione: Quanti sono i 2/3 degli alunni del nostro istituto? Nel suo astuccio Luca dei colori, i 3/5 di questi sono rossi. Quanti sono i colori rossi di Luca?

Primo caso: problema diretto Si conosce il valore di una grandezza e si vuole conoscere il valore di una sua parte indicata da una frazione. In un triangolo rettangolo il cateto maggiore misura 25 cm e il minore è i suoi 3/5. Calcola l’area del triangolo.

Secondo caso: problema inverso Si vuole conoscere il valore di una grandezza conoscendo, di una sua parte, sia il valore numerico sia quello dato sotto forma di frazione. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 11,4 cm ed è ¾ dell’altro. Calcola l’area, il perimetro e l’altezza relativa all’ipotenusa.

Terzo caso: somma di due (o più) quantità Data la somma di due quantità e sapendo che una è una certa frazione dell’altra, si vuole calcolare il valore delle due quantità. Le dimensioni di un rettangolo sono una ¾ dell’altra e la loro somma misura 175 cm. calcola la lunghezza della diagonale, il perimetro e l’area.

Quarto caso: differenza di due quantità Data la differenza di due quantità e sapendo che una è una certa frazione dell’altra, calcolare il valore delle due quantità. Un triangolo equilatero è isoperimetrico ad un rettangolo. Calcola l’area del triangolo sapendo che le due dimensioni del rettangolo sono una 13/9 dell’altra e che la loro differenza misura 12 cm.

Il problema del … problema! Si definisce problema una situazione in cui vengono fornite delle informazioni e ne vengono richieste altre: Le informazioni fornite costituiscono i dati del problema; Le informazioni richieste costituiscono la domanda ( o richiesta o obiettivo). Per risolvere un problema quindi è molto importante individuare chiaramente questi due tipi di informazioni e formalizzarle.

Il passo successivo è quello di rispondere alla domanda che il problema pone e questo è possibile tramite una serie di ragionamenti logici e di operazioni numeriche. Non esiste una regola fissa per risolvere un problema, anche se molti problemi possono essere inseriti in categorie con soluzione simile.

Il nodo da sciogliere! Individuare chiaramente dati e domande; Nell’affrontare un problema generalmente si possono incontrare diversi livelli di difficoltà: Individuare chiaramente dati e domande; Disegnare correttamente la figura (molto spesso una figura correttamente disegnata spiana la strada verso una corretta soluzione del problema); Applicare le formule (semplice se ho i dati e conosco le formule); Trovare i dati che mancano sulla base di quelli che ho a disposizione (il nodo da sciogliere!).

Un esempio particolare Un rettangolo ha l’altezza che misura i 5/7 della base e l’area di 560 cm2. Calcola il lato del quadrato isoperimetrico al rettangolo. Dati numerici: h = 5/7 b Ar = 560 cm2 Dati relazionali: quadrato isoperimetrico al rettangolo

Questo problema è solo apparentemente diverso dal precedente, ma il modo di operare e i ragionamenti logici da mettere in atto sono pressoché i medesimi. Anche in questo caso infatti dire che l’altezza è i 5/7 della base è come dire che l’altezza è lunga 5 parti delle 7 in cui divido la base. Diversamente dal caso precedente però non divido soltanto i lati in parti uguali, ma l’area:

L’area del rettangolo risulterà scomposta in tanti quadratini equivalenti (35) perché i loro lati non sono altro che le unità frazionarie in cui ho scomposto la base e l’altezza del rettangolo.

Ora per … sciogliere il nodo basterà dividere l’area del rettangolo per il numero di quadratini da cui è composto: 560 : 35 = 16 cm2 (area del singolo quadratino), calcolando la radice quadrata di 16 ottengo la misura dell’unità frazionaria e poi …… tocca a voi!!!