Testo consigliato MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Antonio Leonelli MATEMATICA PER LE SCIENZE SPERIMENTALI Editore JAPADRE

Titolo Spazi euclidei e funzioni

Piano cartesiano Q (2,3) P (3,2)

Prodotto cartesiano Se A e B sono due insiemi, si chiama Prodotto Cartesiano di A per B l’insieme, indicato con A x B , i cui elementi sono le coppie ordinate (x,y) dove il primo termine x viene scelto in A e il secondo termine y viene scelto in B .

Quadrato cartesiano Se A = B , invece di AxA si usa scrivere: A2

R2 RxR R 2

R 2

Spazio cartesiano

R3 z 4 P R 3 (3,2,4) 2 y 3 x

R R R Dimensioni 3 2 spazio euclideo di dimensione 1 spazio euclideo 1 2 3 -1 -2 spazio euclideo di dimensione 1 R 2 R 3 spazio euclideo di dimensione 3 spazio euclideo di dimensione 2

n-uple ordinate di numeri reali Rn n R spazio euclideo n-dimensionale ennuple n-uple ordinate di numeri reali

Analisi su un campione analisi su un campione sperimentale: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 unità campionarie risultati analisi del colesterolo: risultati analisi della glicemia: risultati analisi dell’azotemia:

Peso - altezza Correlazione Peso-Altezza x (peso in Kg.) 70 66 74 72 76 72 76 73 y (altezza in cm.) 168 167 172 175 177 169 176 175

Nuvola di punti y altezza 160 165 170 175 180 x 60 65 70 75 80 peso

m = tg a a y = m x Equazione della retta A coefficiente angolare y x y x x

m > 0 : CRESCENTE y A a x

y m < 0 : DECRESCENTE x a A

Coeff. angolare e intercetta y = m x + q y m coefficiente angolare mx+q q intercetta q Q y = m x q m x a a x x

m coefficiente angolare x y Q q m x mx+q y = m x+q m coefficiente angolare intercetta

Retta interpolatrice m q 1 100 altezza y = x + 100 peso variabile indipendente altezza 160 165 170 175 180 equazione y = x + 100 x 60 65 70 75 80 variabile dipendente peso

Scambio degli assi peso y = x - 100 altezza y x variabile dipendente variabile indipendente peso 60 65 70 75 80 equazione y = x - 100 x 160 165 170 175 180 altezza

Concetto di funzione peso y = ax2 + bx + c altezza y y varia in funzione di x parabola variabile dipendente variabile indipendente y peso F U N Z I O N E equazione y = ax2 + bx + c x altezza

Definizione di funzione

immagine di x mediante f Immagini o valori f B A valore di f su x argomento x f(x) DOMINIO CODOMINIO immagine di x mediante f

Immagine di una funzione B A f (A) immagine di A f

Traiettoria z y x

z y x

z y x

z y x

z y x

z y x

z y x

z y x

z y x

z y x

z y x

z t f (t) y posizione dell’aereo nell’istante t x

Funzione di 4 variabili T ( x, y, z, t ) (x, y, z) Temperatura in °C nel punto (x, y, z) nell’istante t T ( x, y, z, t ) (x, y, z)

Operazioni come funzioni OPERAZIONI ALGEBRICHE addizione : add R2 R add (x , y) = x + y moltiplicazione : molt R2 R

Identità IDENTITA’ di A id A A A id (x) = x A x x

Successioni N* f R SUCCESSIONE f(1) = a1 f(2) = a2 f(n) = an

N* R f Fibonacci f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 f(4) = 5 f(5) = 8 SUCCESSIONE Esempio : f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 f(4) = 5 f(5) = 8 f(6) = 13 definizione ricorsiva : f(n+2) = f(n) + f(n+1) successione di Fibonacci

Progressione aritmetica f R SUCCESSIONE Esempio : f(n) = a n + b 2 3 f(0) = 3 f(1) = 5 f(2) = 7 f(3) = 9 f(4) = 11 f(5) = 13 progressione aritmetica

N R Funzione lineare R y = a x + b f( n ) = a n + b x f y 17 15 y = a x + b f N R R 13 11 f( n ) = a n + b x 9 funzione lineare 7 5 3 linea retta x 1 2 3 4 5 6 7

Rapidità di crescita y - yo = m (x-xo) y = f(x) lineare f(xo) y y xo x y - yo = m (x-xo) coefficiente angolare (rapidità di crescita)

Previsione f ( xo+ h ) = f ( xo) + m h y - yo = m (x-xo) h y = f(x) lineare f(xo+ h) f ( xo+ h ) = f ( xo) + m h m h f(xo) yo yo h x xo xo+ h coefficiente angolare (rapidità di crescita) y - yo = m (x-xo) h

Concetto di derivata m varia in funzione di x y = f(x) non lineare y = m1 x + q1 y = m x + q f(xo) m varia in funzione di x xo x1 x DERIVATA di f

? y = f(x) non lineare y = m x + q xo y f(xo+ h) xo+ h x f(xo) h f(xo+h) - f(xo) f(xo) rapporto incrementale h xo xo+ h x

f(xo+ h) - f(xo) h

f(xo+ h) - f(xo) h

f(xo+ h) - f(xo) h

f(xo+ h) - f(xo) h

Definizione di derivata

Esempio Esempio funzioni lineari y = a x + b coefficiente angolare

Derivate fondamentali Esempio funzione

più in generale:

Tabella delle derivate

Crescenza e decrescenza y = f(x) non lineare y x2 DECRESCENTE CRESCENTE x1 x

Funzione seno 1 sin t t -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

Grafici di seno e coseno y = sin x y = cos x

Grafico della tangente Grafico della funzione tangente

Una strana “funzione” ? decrescente crescente

Non è una funzione ? NON E’ UNA FUNZIONE !

La definizione corretta di funzione

la funzione seno non è invertibile Non invertibilità la funzione seno non è invertibile

Iniettività però x1 x2 FUNZIONE NON INVERTIBILE y = b b perché f sia invertibile occorre che : FUNZIONE INIETTIVA x1 x2

f B A INIETTIVA

f A B INIETTIVA

Ricerca dell’inversa f - 1 B A inversa di f ? f(A)

FUNZIONE NON INVERTIBILE y = b b y = sin x + 3 ?

Suriettività e biettività f B A BIETTIVA INIETTIVA SURIETTIVA f(A) f (A) = B f SURIETTIVA

Funzione inversa f - 1 B A

Grafico dell’arcoseno Grafico della funzione arcoseno

Inversione parziale

Grafico dell’arcocoseno Grafico della funzione arcocoseno

Grafico dell’arcotangente Grafico della funzione arcotangente

Composizione COMPOSIZIONE B g f f(x) A C g COMPOSTO f x g( f(x) )

Non commutatività f : R R f(x) = x + 1 g(x) = x2 g : R R Esempio : L’OPERAZIONE DI COMPOSIZIONE NON È COMMUTATIVA

Esercizio regola della catena

Esercizio Esempio

Regole di derivazione

Esercizio Esempio

Funzioni esponenziali funzione esponenziale di base a l numero di Nepero esponenziale naturale e e = 2.71828...

R Studiare la funzione: Dominio: Esercizio la funzione è sempre crescente Il grafico volge sempre la concavità verso l’alto

Grafico dell’esponenziale

Esponenziale decrescente

Logaritmo naturale base naturale e logaritmo naturale

Grafico del log naturale 1 y = log x 8 + 0 < x < 1 log x < 0 x > 1 log x > 0 8

Tabella funzioni-operazioni Pagina 308 Tabella 4.1

iperbole

Grafico della radice quadrata

Radice di x al quadrato

Forme indeterminate = ? FORMA INDETERMINATA ∞ - ∞

Teorema di de L’Hospital FORMA INDETERMINATA ∞ Teorema di De L’Hospital

Limite notevole FORMA INDETERMINATA Teorema di De L’Hospital

∞ ex infinito di ordine superiore rispetto ad ogni polinomio FORMA INDETERMINATA ∞ Teorema di De L’Hospital ex infinito di ordine superiore rispetto ad ogni polinomio

Esercizi sugli integrali definiti Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 326