MATEMATICA O ARTE? Gruppo 3
Le Permutazioni Permutare n oggetti significa cambiare l’ordine in cui tali oggetti sono disposti. 1234 3214
Definizione di gruppo In generale si dice gruppo un insieme dotato di un’operazione che gode delle seguenti proprietà ASSOCIATIVA IDENTITA’ INVERSO Anche le permutazioni sono un Gruppo 1234 1234 1234 4321
Simmetrie di figure geometriche Classificazioni delle isometrie del piano. (Chasles, 1831) Riflessioni (o ribaltamenti); Rotazioni; Traslazioni; Glissoriflessioni.
Simmetrie dei triangoli e quadrati
Che cos’è un reticolo? Un reticolo è un insieme di punti del piano (o dello spazio) “indotto” dal gruppo generato da due traslazioni associate a vettori indipendenti.
Classificazione dei reticoli piani Le simmetrie di un reticolo piano dipendono dalla forma del parallelogramma di base, o cella elementare.
Sistemi regolari di punti E’ un insieme di punti ottenuto ripetendo uno stesso insieme di punti lungo i filari di un reticolo ad intervalli uguali al periodo di identità del filare. Esempi sono le tassellazioni o tappezzerie nel piano e cristalli nello spazio.
I Fregi Sono un gruppo di isometrie che contiene solo una: Traslazione; Rotazioni; Riflessioni. In totale sono 7.
Esempio di fregio
Tassellazioni nel piano I gruppi associati agli insiemi delle simmetrie delle tassellazioni sono 17. Un tipo di tassellazioni che permette di coprire il piano sono le tassellazioni di Penrose che non contengono simmetrie al loro interno.
Tassellazione di Penrose
Applicazione nell’arte: Escher
Isometrie nello spazio Riflessioni rispetto a un piano; Rotazioni; Traslazioni; Glissoriflessioni; Glissorotazioni; Riflessioni rotatorie. I gruppi associati a queste simmetrie sono 230
Il tetraedro Ha esattamente 24 simmetrie E ci sono 4 rotazioni di 120°, 4 di 240°, 3 rotazioni di 180°, 6 riflessioni e l’identità, 6 riflessioni rotatorie ad uno dei 3 assi di rotazione