PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico 2006-07 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e gli insiemi numerici Bruna Consolini

DEFINIZIONE DI STRUTTURA ALGEBRICA Un insieme A possiede una struttura algebrica S  quando è dotato di una o più operazioni interne che godono di determinate proprietà S = (A, , ,  …) (N, +) indica la struttura  dell'insieme N con l'operazione addizione (P(I),  ) indica la struttura  dell'insieme delle parti di I con l’operazione unione

ESEMPI DI STRUTTURE Considerando un insieme di elementi A è possibile costruire strutture con una o più operazioni  INISEME A SI CHIAMA SUPPORTO Normalmente si studiano alcune strutture fondamentali con una o due operazioni interne che soddisfano una serie di criteri e che sono basilari in diversi campi della matematica  STRUTTURE SU NUMERI, INSIEMI, PERMUTAZIONI, MATRICI, TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE …

DEFINIZIONE DI OPERAZIONE BINARIA Dato un insieme A non vuoto, si definizione legge di composizione binaria o operazione interna binaria un’applicazione di AxA in A. Cioè una funzione che associa ad ogni coppia ordinata (a,b) di elementi appartenenti ad A uno ed un solo elemento c appartenente ad A.

TIPI DI OPERAZIONI ESISTONO ANCHE ALTRI TIPI DI OPERAZIONI: OPERAZIONI UNARIE Esempio: RADICE QUADRATA … OPERAZIONI BINARIE Esempio: ADDIZIONE, MOLTIPLICAZIONE… OPERAZIONI N-ARIE Esempio: MEDIA DI N NUMERI, MCD FRA N NUMERI ….

ESEMPI OPERAZIONI BINARIE INTERNE + in N * in NP (naturali pari) - in Z / in Q0 (Q-{0})  in C OPERAZIONI BINARIE NON INTERNE - in N + in ND (naturali dispari) / in Z / in Q  in R

PROPRIETA’ ASSOCIATIVA Una struttura (A,  ) è associativa (oppure l'operazione   gode della proprietà associativa ) se vale : a,b,c A, (a  b)  c = a (b  c) = a b  c (P(I),  ) Insieme delle parti e operazione intersezione è una struttura associativa (Z, *) è una struttura associativa

ESEMPI VALE PROPRIETA’ ASSOCIATIVA (R, +) infatti (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c NON VALE PROPR. ASSOCIATIVA (Z, -) infatti (a-b)-c  a-(b-c) (Q0, :) infatti (a:b) : c  a : (b:c) (R, ab) infatti (Q, ) infatti

PROPRIETA’ COMMUTATIVA Una struttura (A,  ) è commutativa (oppure l'operazione   gode della proprietà commutativa) se vale : a,b A, a  b = b  a (P(I),  ) Insieme delle parti e operazione intersezione è una struttura commutativa (N, *) è una struttura commutativa

ESEMPI VALE PROPRIETA’ COMMUTATIVA (N, +) infatti a+b = b+a NON VALE PROPR. COMMUTATIVA (Z, -) infatti a – b  b – a (Q,ab) infatti ab  ba (R, f ) infatti f°g  g°f

ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO L'operazione   ammette l’elemento neutro se vale : a A, u A, a  u = u a = a (P(I),  ) Insieme delle parti e operazione intersezione l’elemento neutro è I In (C, *) esiste elemento neutro 1

ESEMPI ESISTE L’ELEMENTO NEUTRO (R, +) infatti a+0 =0 + a = a (P(I)),) infatti A  =  A=A NON ESISTE L’ELEMENTO NEUTRO (Q0, /) infatti a:1  1: a (R, - ) infatti a – 0  0 – a

ESISTENZA ELEMENTO SIMMETRICO L'operazione   ammette l’elemento simmetrico se esiste l’elemento neutro u e vale : a A,  a’ A, a  a’ = a’  a = u In (Q, +) esiste l’elemento simmetrico In (R, *) esiste l’elemento simmetrico

ESEMPI (R, +) infatti a+(-a) = - a + a = 0 ESISTE L’ELEMENTO SIMMETRICO (R, +) infatti a+(-a) = - a + a = 0 NON ESISTE L’ELEMENTO SIMMETRICO (Z, *) infatti solo ±1 possiedono simmetrico (P(I), ) infatti solo  ha simmetrico

PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA Una struttura (A, ,* ) è distributiva di * rispetto a  (oppure l'operazione  * è distributiva rispetto a ) se vale : a,b,c A, (a  b) * c = (a*c) (b * c) a,b,c A, c*(a  b) = (c*a) (c * b) (P(I),  ,  ) Insieme delle parti l’unione è distributiva rispetto all’intersezione (Z, +,*) è una struttura distributiva del prodotto rispetto alla somma

ESEMPI VALE PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA (R, +,*) infatti (a+b)*c = (a*c)+(b*c) c*(a+b)=(c*a)+(c*b) NON VALE PROPR. DISTRIBUTIVA (Z, +,-) infatti (a+b)-c  (a-c)+(b-c) (R,*,+) infatti a+(b*c) (a+b)*(a+c)

STRUTTURE ALGEBRICHE GRUPPI ANELLI CORPI CAMPI

DEFINIZIONE DI GRUPPO Un insieme G dotato di una operazione binaria , che ad ogni coppia di elementi a, b di G associa un elemento, che indichiamo con a b, appartenente a G, è un gruppo se vengono rispettate le seguenti condizioni: G1) – proprietà associativa G2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetrico

SEMIGRUPPI E MONOIDI Se una struttura gode solo della proprietà associativa, si chiama semigruppo. Se una struttura gode solo delle proprietà associativa ed esistenza elemento neutro, si chiama monoide. Se un gruppo gode anche della proprietà commutativa, si chiama gruppo commutativo o abeliano.

INSIEMI NUMERICI & GRUPPI (Z, +) (Q, +) (Q0, *) (R, +) (R, *) (C, +) (C, *) NON GRUPPI (N, +) (N, *) (Z, *)

SOTTOINSIEMI & GRUPPI Se (G , ) è un gruppo Se un insieme in cui agisce un’operazione costituisce una struttura algebrica, si può pensare che cosa succede ai suoi sottoinsiemi. Se (G , ) è un gruppo F  G e (F , ) è un gruppo Allora F è sottogruppo di G relativamente a 

ESEMPI NP={xN, x=2k} NPN (NP, +) è un monoide A={xZ, x=5k} AZ (A,+) è un gruppo B= {+1, -1 } B  Z + non op. interna B= {+1, -1 } B Z (B,*) è un gruppo C={x,kZ, x=k2 } + non op. interna C={x,kZ, x=k2 } (C,*) è un gruppo (N, mcm) è un monoide (N, MCD) è un semigruppo D= {1,2,3,4,6,12} (D,MCD) è un monoide

DEFINIZIONE DI ANELLO è un anello Un insieme A dotato di due operazioni binarie , * è un anello se vengono rispettate le seguenti condizioni: A1) – la struttura (A, ) è un gruppo abeliano A2) – la struttura (A, *) è un semigruppo A3) – l’operazione * è distributiva rispetto a 

DEFINIZIONE DI CORPO E CAMPO Un insieme C dotato di due operazioni binarie , * è un corpo se vengono rispettate le seguenti condizioni: C1) – la struttura (C, ) è un gruppo abeliano C2) – la struttura (C0, *) è un gruppo C3) – l’operazione * è distributiva rispetto a  Un insieme C dotato di due operazioni binarie , * è un campo se (C, ,*) e l’operazione * è commutativa

INSIEMI NUMERICI & ANELLI E’ UN ANELLO (Z, +,*) infatti (Z,+) è un gruppo mentre (Z,*) no NON E’ UN ANELLO (N, +,*) infatti (N,+) è (N,*) non sono gruppi

INSIEMI NUMERICI & CAMPI SONO UN CAMPO (Q, +,*), (R, +,*), (C, +,*), Un sottoinsieme di un campo K, chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto e che è un campo con queste operazioni è chiamato sottocampo. Quindi, Q è un sottocampo di R, che è a sua volta sottocampo di C.

L’UNICITA’ DELLE SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI Ogni equazione di 1° grado a  x = b oppure y  a = b ammette una unica soluzione x = a’  b e y = b a’ con x = y se a e b appartengono ad un gruppo abeliano. a’  (a  x) = a’  b (y  a)  a’ = b  a’ (a’  a)  x = a’  b y  (a  a’) = b  a’ u  x = a’  b y  u = b  a’ x = a’  b y = b  a’ x = y

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