PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico 2006-07 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Numeri Complessi Simonetta Guglielmetto

I NUMERI COMPLESSI z = a + i b  C P(a,b) b v a I numeri complessi z = a + ib individuano le coppie (a,b) che rappresentano le coordinate di punti nel piano R2 chiamato piano di Argand-Gauss I numeri complessi z si possono rappresentare con un vettore centrato nell’origine degli assi cartesiani z = a + i b  C P(a,b) b v a

OPERAZIONI FRA VETTORI SOMMA La regola dell’addizione corrisponde alla regola del parallelogramma relativa alla risultante dei vettori (5, 5) (1, 3) (4, 2) (4+2i) + (1+3i)=5+5i

PRODOTTO PER UNO SCALARE Se k<0 Se k>0 kv v v kv

PRODOTTO PER i (unità immaginaria) P(a,b) b iv v a La moltiplicazione per i fa ruotare il vettore di 90° in senso antiorario

Per le regole trigonometriche si ha che LE COORDINATE POLARI P(a;b) b MODULO ARGOMENTO PRINCIPALE a Per le regole trigonometriche si ha che quindi

PASSAGGIO DALLLE COORDINATE TRIGONOMETRICHE A QUELLE CARTESIANE PASSAGGIO DALLLE COORDINATE CARTESIANE A QUELLE TRIGONOMETRICHE

ESERCIZI Trasformare i seguenti numeri dalla forma algebrica a quella trigonometrica e posizionarli sul piano di Gauss:

PRODOTTO DI DUE NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA Dati due numeri complessi Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica è un numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti

DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA POTENZA DI DUE NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA

Dati i numeri complessi ESERCIZI Dati i numeri complessi Eseguire le operazioni indicate

RADICE N.ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO Dato il numero complesso si dice RADICE N-ESIMA di z un qualunque numero complesso w tale che Da cui di ricava che esistono n soluzioni : con k=0,1,2,…,n-1

I numero complessi w hanno lo stesso modulo, ma diverso argomento; quindi individuano punti di una stessa circonferenza di raggio uguale al modulo. Si può dimostrare che essi individuano i vertici di un poligono regolare di n lati. Esempi

w0 w1

ESERCIZI Calcolare la radice indicata dei seguenti numeri complessi e posizionarli sul piano di Gauss :

SOLUZIONE EQUAZIONI POLINOMIALI IN C ha tre soluzioni in C . Quali? ha quattro soluzioni in C . Quali?