PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico 2006-07 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Funzioni, Polinomi, Equazioni Bruna Consolini

FUNZIONI E POLINOMI P =funzione polinomiale x = variabile indipendente y = variabile dipendente P =funzione polinomiale

POLINOMI ED EQUAZIONI Nel piano cartesiano SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE RAPPRESENTANO LE ASCISSE DEI PUNTI DI INTERSEZIONE DELLA FUNZIONE POLINOMIALE CON L’ASSE X

CORRISPONDE AL GRAFICO ESEMPIO …prima parte IL POLINOMIO DI SECONDO GRADO CORRISPONDE AL GRAFICO DI UNA PARABOLA LE SOLUZIONI SI INDIVIDUANO COME LE ASCISSE DEI PUNTI

ESEMPIO … seconda parte IL POLINOMIO PUO’ ESSERE ESPRESSO COME UGUAGLIANZA DI DUE POLINOMI LE SOLUZIONI SI INDIVIDUANO COME LE ASCISSE DEI PUNTI DI INTERSEZIONE TRA LE DUE CURVE

POLINOMIO DI TERZO GRADO 3 SOLUZIONI? FUNZIONE MONOTONA? PER X CRESCE? PER X-  CRESCE?

POLINOMIO DI QUARTO GRADO 4 SOLUZIONI? FUNZIONE MONOTONA? PER X CRESCE? PER X-  CRESCE?

POLINOMIO DI QUINTO GRADO 5 SOLUZIONI? FUNZIONE MONOTONA? PER X CRESCE? PER X-  CRESCE?

IN GENERALE: UN POLINOMIO DI GRADO n HA n SOLUZIONI LE SOLUZIONI NON SONO TUTTE NECESSARIAMENTE NUMERI REALI SE ESISTONO SOLUZIONI NON REALI, SONO SEMPRE IN NUMERO PARI LE SOLUZIONI POSSONO AVERE MOLTEPLICITA’ 1 OPPURE k>1

POLINOMI DI GRADO PARI

POLINOMI DI GRADO DISPARI

MOLTEPLICITA’ DELLE SOLUZIONI 1 2 3

SI OSSERVA LE FUNZIONI POLINOMIALI DI GRADO PARI TENDONO A +INFINITO PER VALORI DI X CRESCENTI E DECRESCENTI (OPPURE TENDONO A –INFINITO) LE FUNZIONI POLINOMIALI DI GRADO DISPARI TENDONO A +INFINITO PER VALORI DI X CRESCENTI E A –INFINITO PER VALORI DECRESCENTI (OPPURE VICEVERSA)

… INOLTRE SE LA SOLUZIONE HA MOLTEPLICITA’ 1 LA FUNZIONE POLINOMIALE INTERSECA L’ASSE X (SENZA VARIARE CONCAVITA’) SE LA SOLUZIONE HA MOLTEPLICITA’ 2 LA FUNZIONE POLINOMIALE E’ TANGENTE ALL’ASSE X (SENZA VARIARE CONCAVITA’) SE LA SOLUZIONE HA MOLTEPLICITA’ 3 LA FUNZIONE POLINOMIALE GENERA UN PUNTO DI FLESSO CON L’ASSE X (CON VARIAZIONE DELLA CONCAVITA’)

POLINOMI NON SCOMPONIBILI X P(X) -5 -63 -4 -14 -3 11 -2 18 -1 13 2 1 -9 3 -7 4 5 67 6 146

… SOLUZIONE NON ESPRESSA MEDIANTE RADICALI

POLINOMI DI GRADO UGUALE O SUPERIORE AL QUINTO X P(X) -5 -3063 -4 -974 -3 -205 -2 -6 -1 13 2 1 -9 10 3 209 4 978 5 3067 6 7706

…SOLUZIONI CALCOLATE IN MODO APPROSSIMATO

IN GENERALE… ESISTONO FORMULE RISOLUTIVE PER LE EQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO … MA ANCHE PER EQUAZIONI DI TERZO E QUARTO GRADO NON ESISTONO FORMULE RISOLUTIVE PER EQUAZIONI DI QUINTO GRADO O GRADO SUPERIORE

…ALLORA SI RICORRE AL METODO GRAFICO OPPURE ALLA TABULAZIONE PER INDIVIDUARE GLI INTERVALLI IN CUI POSSONO TROVARSI LE SOLUZIONI SI UTILIZZANO METODI DI CALCOLO APPROSSIMATO PER DETERMINARE IL VALORE DELLE SOLUZIONI CON UN LIVELLO DI PRECISIONE DESIDERATO

VERSO IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA NUOVI TEOREMI: Ruffini, Cardano… NUOVI INSIEMI NUMERICI: Numeri Complessi