Forza gravitazionale di un corpo sferico omogeneo La forza con cui un corpo sferico omogeneo di massa M attrae un’altra massa è la stessa che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro della sfera : m F MT distanza dal centro della sfera omogenea m F MT U.Gasparini, Fisica I

“Guscio sferico” Forza esercitata sulla massa mP da un “guscio sferico” di massa M: forza esercitata dall’ “anello” di massa dM distanza da mP a dm forza esercitata da dm su mP dm dr x df = g mPdm / x2 r Ra J dF a P C mP dJ R “anello” di raggio Ra=r sinq e massa dM = dV dM dM (vedi seguito) U.Gasparini, Fisica I

Forza esercitata dall’intero ‘guscio’ di massa M : x r J Differenziando: R Quindi: Forza esercitata dall’intero ‘guscio’ di massa M : U.Gasparini, Fisica I M massa del guscio sferico

Campo della forza gravitazionale Forza gravitazionale esecitata da una massa M su una massa m: F ( r ) = - g M m uR r2 r m uR M F “Campo gravitazionale” generato dalla massa M: G( r ) º F( r ) = - g M uR G ( r ) m r2 P “linee di forza” del campo: tangenti in ogni punto alla direzione del campo U.Gasparini, Fisica I

Campo gravitazionale generato da due masse uguali: Le linee di forza “visualizzano” l’andamento del campo; la loro densità è proporzionale all’intensità del campo. U.Gasparini, Fisica I

“Flusso” di un campo vettoriale “Flusso” del campo vettoriale G attraverso una superficie orientata infinitesima : G dS= dS uN superficie di area dS Flusso attraverso una superficie finita S: G dS U.Gasparini, Fisica I

Teorema di Gauss : S mi S G Mj Il flusso del campo gravitazionale attraverso una qualsiasi superficie chiusa è proporzionale alla somma delle masse all’interno della superficie: G S mi Mj In particolare: S r teorema di Gauss G=-G(r )u R m U.Gasparini, Fisica I

Applicazione del teorema di Gauss : Forza gravitazionale all’interno di una sfera omogenea di massa M : G= - G( r) uR r m(r) R Forza gravitazionale su una massa m a distanza r dal centro di una distribuzione sferica di raggio R e massa : r < R r > R U.Gasparini, Fisica I r R

Energia potenziale della forza gravitazionale m 1 ds F 2 M uR ds Posto : U.Gasparini, Fisica I

“Velocità di fuga” E’ la minima velocità iniziale v0 (nel punto a distanza r = R) necessaria per sfuggire all’attrazione gravitazionale ( Þ per arrivare ad r = ¥ con velocità nulla) U(r) R r Dalla conservazione dell’ energia meccanica: Per la Terra: Per il Sole: U.Gasparini, Fisica I

Il viaggio del “Voyager” Nella sua traiettoria, ha utilizzato i pianeti giganti come “fionde gravitazionali”, per raggiungere i pianeti esterni del sistema solare Terra (Sett.1977) Giove (Feb.1979) Saturno (Ott.1980) Urano (Gen.1986), Nettuno (Ago.1989) Ha inviato i suoi ultimi segnali qualche hanno fa, dopo aver superato l’ orbita di Plutone; attualmente vaga nello spazio interstellare, a circa 10 miliardi di km da noi; è l’oggetto più lontano mai lanciato dall’ Uomo. Potrebbe raggiungere Proxima Centauri, la stella più vicina al Sole (4,2 anni-luce), tra circa 40000 anni. U.Gasparini, Fisica I

“Curva di rotazione” “Curva di rotazione”(o cuva“kepleriana”) del sistema solare: dalla legge di gravitazione universale, per un pianeta in orbita circolare di raggio R: v(km/s) 40. Venere Terra 30. Marte 20. Giove Saturno 10. Urano 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. La curva di rotazione della nostra galassia (“Via Lattea”) non segue la stessa legge: 1. v(km/s) Ammassi globulari Grandi nubi di Magellano Sole 200. Piccole nubi di Magellano 100. U.Gasparini, Fisica I anni-luce 50. 100. 150. 200.

Curva di rotazione delle galassie La “curva di rotazione” delle galassie non segue la legge kepleriana : per spiegare l’andamento di v(r) delle stelle nelle galassie, misurato dall’osservazione del ‘redshift’ (= spostamento verso il rosso) degli spettri di emissione della luce, è necessario ammettere l’esistenza di materia oscura nell’Universo (es.: stelle di neutroni, buchi-neri, neutrini, nuove particelle di natura sub-nucleare…) che contribuisca alla massa totale della galassia stessa, sorgente della forza gravitazionale U.Gasparini, Fisica I