Elementi di Matematica Trigonometria prof. Paolo Peranzoni

Goniometria e trigonometria La goniometria è quella parte della matematica che riguarda lo studio degli angoli e delle funzioni angolari La trigonometria, almeno in origine, riguarda invece lo studio dei triangoli e delle relazioni fra i loro elementi (lati ed angoli) Spesso, però, i due termini vengono usati indifferentemente; il più utilizzato è trigonometria

Misura degli angoli Gli angoli, come è noto fin dalla scuola elementare, si possono misurare in gradi (sessagesimali) Non è però l’unica unità di misura angolare esistente: si possono misurare anche in radianti oppure in gradi centesimali ATTENZIONE! Sulle calcolatrici tascabili la scritta GRAD si riferisce a questi ultimi, mentre i consueti gradi sessagesimali sono indicati con DEG

Triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo, come sappiamo, vi sono due angoli acuti, oltre a quello retto Essendovi tre lati, vi sono in tutto sei possibili rapporti fra di essi, che dipendono esclusivamente dall’ampiezza degli angoli acuti In altre parole, questi sei rapporti sono funzioni di tali angoli: sono le sei funzioni trigonometriche

Sei funzioni I sei rapporti (funzioni trigonometriche) sono:

In altre parole... Il seno di un angolo acuto  di un triangolo rettangolo è il rapporto fra il cateto opposto a quell’angolo e l’ipotenusa Il coseno di un angolo acuto  di un triangolo rettangolo è il rapporto fra il cateto adiacente a quell’angolo e l’ipotenusa La tangente di un angolo acuto  di un triangolo rettangolo è il rapporto fra il cateto opposto a quell’angolo e il cateto adiacente

Come si chiamano? Le sei funzioni definite si chiamano, come abbiamo visto, seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante Le più utilizzate sono le prime quattro (in particolare le prime tre), per cui ci limiteremo a considerare quelle Così come le abbiamo definite, le sei funzioni goniometriche possono riferirsi solo ad angoli acuti: ma è possibile estenderne la definizione ad angoli qualsiasi

Risolvere triangoli Le funzioni trigonometriche possono servire per risolvere problemi relativi a triangoli rettangoli, ma anche a triangoli qualsiasi È stata questa la molla che ha spinto l’umanità, fin dai secoli più remoti, ad “inventare” la trigonometria problemi relativi alla misurazione di terreni problemi astronomici (importanti per la navigazione) ecc.

Relazioni fra le funzioni Le sei funzioni goniometriche non sono indipendenti fra loro: se ne conosciamo una, possiamo ricavare tutte le altre Infatti, sfruttando il teorema di Pitagora e tenendo conto delle definizioni, si possono trovare varie relazioni che legano fra loro le sei funzioni goniometriche

Principali relazioni... Dalla definizione: dall’altra: si ricava dall’altra: Ma il teorema di Pitagora ci dice che: Dalle due relazioni scritte sopra a destra, si ricava che:

...Principali relazioni (seguito) Dalla definizione: si ricava dall’altra: Infine, dalla:

Conclusione Riassumendo, le due relazioni fondamentali fra le tre principali funzioni goniometriche di uno stesso angolo sono: e Da queste si possono ricavare tutte le formule che consentono di calcolare una qualunque delle funzioni conoscendo una qualunque delle altre

Angoli associati Due angoli si dicono complementari se la loro somma dà un angolo retto (90°) Due angoli si dicono supplementari se la loro somma dà un angolo piatto (180°) Due angoli si dicono esplementari se la loro somma dà un angolo giro (360°) Dato un certo angolo , i suoi angoli associati sono il suo complementare, il suo supplementare, il suo esplementare e qualche altro... Vi sono importanti relazioni fra le funzioni goniometriche di un angolo e quelle dei suoi associati

Angoli complementari Vedremo solo le relazioni fra angoli complementari: sen  = cos (90° – ) cos  = sen (90° – ) tan  = cot (90° – ) cot  = tan (90° – ) Questo spiega i nomi in coppia (seno/co-seno, ...) delle sei funzioni goniometriche