La trigonometria Nell’Encyclopédie (XVIII secolo) si legge: "Trigonometria è l’arte di trovare le parti incognite di un triangolo mediante quelle che si conoscono" Perspective: una tavola dell’Encyclopédie

La trigonometria ha una storia lunga e complessa La trigonometria ha una storia lunga e complessa. Il termine, coniato in latino dal matematico e teologo tedesco Pitiscus (1561-1613) nel 1595 a partire dai termini greci trigonos (triangolo) e metron (misura), mette in gioco diversi aspetti della matematica aventi però tutti l’esigenza di far intervenire gli angoli. I problemi specifici della trigonometria piana hanno avuto un’applicazione pratica in agrimensura, topografia…ma la trigonometria fino al 1450 significò soprattutto trigonometria sferica, ossia una “geometria” applicata all’Astronomia. Era questa la trigonometria di Ipparco, Menelao e Tolomeo, motivata dal desiderio di prevedere i moti e le posizioni dei corpi celesti per la compilazione di calendari, per la navigazione e la geografia. Questa trigonometria di cui Ipparco, vissuto a Rodi e Alessandria e morto nel 125 a.C. fu il fondatore, raggiunse un alto livello di sviluppo con il capolavoro Sphaerica di Menelao (morto nel 98 d.C.) e con l’opera Almagesto dell’egiziano Claudio Tolomeo morto nel 168 d.C. Anche gli Arabi studiarono e compirono progressi in trigonometria: Tabit ibn Qorra e l’astronomo al Battari (859-929) introdussero l’uso dei seni, della tangente, della cotangente e del teorema dei seni.

La sistemazione della trigonometria in un’opera indipendente dall’astronomia fu fatta da Nasir –Eddin (1201-1274) nel suo Trattato sul quadrilatero, ma quest’opera arrivò agli Europei solo nel 1450 e fino ad allora la trigonometria rimase un’appendice dell’astronomia sia nei testi che nelle applicazioni. A partire da quel periodo cominciò a diventare importante anche per l’agrimensura. Le nuove ricerche vennero fatte da alcuni tedeschi tra la fine del XV e l’inizio del XVI secolo. Nelle ricche e prospere città della lega anseatica i mercanti patrocinavano le opere di molti studiosi: il lavoro sulla trigonometria era motivato dalla navigazione, dal calendario e dall’astronomia con la creazione della nuova teoria eliocentrica. Da questo periodo furono anche note le opere degli arabi orientali Abu’l –Wafa e Nasir –Eddin. Regiomontano fu abile a raccogliere nel De triangulis(1462-1463) tutte le conoscenze disponibili di trigonometria piana e trigonometria sferica e a farne un sistema organico.

Risoluzione di triangoli rettangoli

PROBLEMI CHE MOTIVANO LA RICERCA DI RELAZIONI TRA LATI ED ANGOLI DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO ESERCIZIO 1 Siamo in Grecia nel II sec.a.C. e Aristarco di Samo, appassionato studioso del cielo, riesce a fissare il rapporto tra le distanze Terra-Sole e Terra-Luna. “Quando la Luna si presenta come una perfetta mezzaluna, l’angolo fra le visuali del Sole e della Luna è inferiore ad un angolo retto per un trentesimo di quadrante: quanto è più lontano dalla Terra il Sole rispetto alla Luna?” Poiché al tempo di Aristarco non c’era un uso della misura degli angoli in gradi il problema descritto è di difficile comprensione. Usando la misura dell’angolo in gradi il “quadrante” di Aristarco equivale ad un angolo di 90° e un trentesimo di quadrante corrisponde ad un angolo ampio 3°. L’angolo indicato da Aristarco sarà ampio: 90°-3°=87°. Il problema può essere schematizzato nel triangolo LTS di cui si conosce l’angolo LTS=87° e si vuole calcolare il rapporto fra la istanza Terra-Luna (ovvero il cateto LT) e la distanza Terra-Sole (ovvero l’ipotenusa TS). Ma quale relazione lega l’angolo LTS al rapporto LT/TS?

ESERCIZIO 2 Siamo nel 1621 quando l’olandese Willebord Snell e dopo di lui il francese René Descartes (Cartesio), formulano la legge matematica che descrive il fenomeno della rifrazione subita dalla luce, passando da un mezzo trasparente ad un altro. In figura a lato è stato fotografato il cammino di un raggio laser che passa dall’aria al vetro. Si nota che il raggio incidente, raggio rifratto e normale si trovano sullo stesso piano, ma dall’esperienza risulta che l’angolo di incidenza e l’angolo di rifrazione sono diseguali. All’aumentare di i, aumenta anche r, ma tali angoli non sono direttamente proporzionali! Misurando le semicorde che si formano tra la normale e le intersezioni tra i raggi e la   circonferenza si nota che il loro rapporto rimane costante. Ma c’è una legge tra l’angolo di incidenza e quello di rifrazione che non obbliga ad utilizzare sempre un cerchio graduato? Si dovranno esaminare triangoli con la stessa ipotenusa (il raggio della circonferenza) e scoprire come un cateto è legato all’angolo opposto. Questo problema somiglia a quello di Aristarco, lo risolveremo più avanti.

In lavorazione……..