Forza elastica / Oscillatore armonico A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Forza elastica / Oscillatore armonico Caso classico: Legge di Hooke: Potenziale: Equazione del moto: Moto oscillatorio tra x = -A e x =+A Caso quantistico: Potenziale: Eq. di Schrödinger: Quantizzazione: esistono soluzioni solo quando

Le soluzioni per l’oscillatore armonico A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Le soluzioni per l’oscillatore armonico Hn(bx) : polinomi di Hermite vale per ogni insieme di soluzioni stazionarie lunghezza caratteristica: l = 1/b

Lo stato fondamentale Posizione media: <x>=0 Incertezza su x: A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Lo stato fondamentale Posizione media: <x>=0 Incertezza su x: Impulso medio: <p>=0 Incertezza sull’impulso: Relazione di indeterminazione di Heisenberg: Energia: Regola generale (su tutti gli stati QM): l’energia minima NON è mai nulla il corpo appare sempre in moto (Δp≠0), anche se non si sposta (<p>=0)!  per questo comportamento non esiste un analogo classico

Sovrapposizione di stati A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli supponiamo di avere un oscillatore armonico in una sovrapposizione di stati stazionari (n=0, n=1): determiniamo l’osservabile posizione: t la sovrapposizione degli stati produce il moto nel sistema!

Esempi di oscillatori armonici: molecole, nuclei A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Esempi di oscillatori armonici: molecole, nuclei Meccanica Classica: dato un potenziale arbitrario U(x) con un minimo, in prossimità del minimo il sistema ha delle oscillazioni (piccole oscillazioni) Meccanica Quantistica: per minimi sufficientemente profondi, il sistema si comporta come un oscillatore armonico: livelli energetici equispaziati x U(x) Esempi: molecole biatomiche, nuclei

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Principio di Corrispondenza MQ ↔ MC A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Principio di Corrispondenza MQ ↔ MC Meccanica Classica: Meccanica Quantistica: La Ψ(x,t) descrive completamente lo stato QM ma non è misurabile Osservabile fisica: Esempio: osservabile posizione Usando l’eq di Schrödinger si può verificare che: Gli osservabili accelerazione e forza verificano: La base della MC è una relazione tra valori medi sugli stati quantistici