LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE A. Martini LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

IL SENO DI UN ANGOLO

DISEGNAMO UN ANGOLO

DISEGNAMO UN ANGOLO c  b

E TRACCIAMO UNA PERPENDICOLARE AL LATO b  b

E TRACCIAMO UNA PERPENDICOLARE AL LATO b  b

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC  b

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC  A C

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC  A C

ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE CHE PASSA PER IL PUNTO C’ B  A C

ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE CHE PASSA PER IL PUNTO C’ B’ B  A C C’

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’  A C C’

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’  A C C’

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’  A C C’

POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE: B’ B  A C C’

c’ a’ c a POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE: B’ c’ B a’ c a  A C C’

a a’ = c c’ c’ a’ c a POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE: B’ c’ B a’ c a  A C C’ a a’ = c c’

a a’ = c c’ c’ a’ c a SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE DAL PUNTO C” B’ c’ B a’ c a  A C C’ a a’ = c c’

a a’ = c c’ c’ a’ c a SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE DAL PUNTO C” B” B’ c’ B a’ c a  A C C’ C” a a’ = c c’

a a’ = c c’ c’ a’ c a INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C” B” B’ B 

a a = c c’ c’ a’ c a INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C” B” B’ B  A

ANCHE QUESTO TRIANGOLO È SIMILE AI PRECEDENTI B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ = c c’

a a’ = c c’ c” c’ a” a’ c a PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA: B” B’ B 

a a’ a” = = c c’ c” c” c’ a” a’ c a PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA: B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = c c’ c”

a a’ a” = = = COST c c’ c” c” c’ a” a’ c a DUNQUE: QUESTI RAPPORTI SONO UGUALI AD UNA COSTANTE CHE DIPENDE SOLO DALL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = = COST c c’ c”

a a’ a” = = = COST c c’ c” c” c’ a” a’ c a DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTA COSTANTE. LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = = COST c c’ c”

a a’ a” = = = COST c c’ c” c” c’ a” a’ c a DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTA COSTANTE. LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = = COST c c’ c”

a a’ a” = = = sen  c c’ c” c” c’ a” a’ c a DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTA COSTANTE. LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = = sen  c c’ c”

c a POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO , CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c) DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD  a c

c a POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO , CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c) DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD  E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA DEI SENI DI OGNI ANGOLO a c

c a POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO , CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c) DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD  E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA DEI SENI DI OGNI ANGOLO VEDIAMO ORA IL SENO DI ALCUNI ANGOLI PARTICOLARI a c



PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 c a 

PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 c 

c PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 IN QUESTO CASO ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO c 

a c PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 IN QUESTO CASO ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO a c 

a = c a c PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 IN QUESTO CASO ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO PER CUI: sen  = c a = a c 

c PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 IN QUESTO CASO ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO PER CUI: sen  = 0 c 

c sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO , AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c sen  = 0 

c a sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO , AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c a  sen  = 0

c a sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO , AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c a  sen  = 0

c a sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO , AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c a  sen  = 0

c a sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO , AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c a  sen  = 0

QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI a È UGUALE A c c a  sen  = 0

QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI a È UGUALE A c c a  sen  = 0

a È UGUALE A c 1 c a = sen  = c a sen  = 0 QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI a È UGUALE A c E QUINDI: 1 c a = sen  = c a  sen  = 0

a È UGUALE A c c a sen  = 0 sen  = 1 QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI a È UGUALE A c E QUINDI: c a  sen  = 0 sen  = 1

POSSIAMO RAPPRESENTARE IL SENO DI UN ANGOLO COSTRUENDO UN GRAFICO DI sen  IN FUNZIONE DELL’ANGOLO a

Disegnamo un cerchio di raggio r=1

Disegnamo un cerchio di raggio r=1

Disegnamo un cerchio di raggio r=1 Se disegnamo questa perpendicolare r=1

Disegnamo un cerchio di raggio r=1 Se disegnamo questa perpendicolare r=1

Disegnamo un cerchio di raggio r=1 Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di  coincide con a: r=1 a 

a a sen  = = 1 Disegnamo un cerchio di raggio r=1 Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di  coincide con a: a sen  = a = 1 r=1 a 

Tracciamo allora il grafico

Tracciamo allora il grafico 

Tracciamo allora il grafico sen  

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

Tracciamo allora il grafico Come si vede, il valore del seno di un angolo non può mai essere maggiore di 1 né minore di -1 sen  +1  90 180 270 360 - 1

particolarmente interessanti sen  Vediamo alcuni casi particolarmente interessanti sen  +1  90 180 270 360 - 1

sen  +1  90 180 270 360 - 1

sen 0 0 sen  +1  90 180 270 360 - 1

sen 0 0 sen  sen 90 1 +1  90 180 270 360 - 1

sen 0 0 sen  sen 90 1 sen 180 0 +1  90 180 270 360 - 1

sen 0 0 sen 90 1 sen 180 0 sen 270 -1 sen  +1  - 1 90 180  90 180 270 360 - 1

sen 0 0 sen 90 1 sen 180 0 sen 270 -1 sen 360 0 sen  +1   90 180 270 360 - 1

sen  sen (180 -sen  +1  90 180 270 360 - 1 

sen  sen (180 -sen  +1  90 180 270 360 - 1 

sen  sen (180 -sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

sen (180 -sen  sen  +1 sen   - 1   90 180 270 360 - 1  

sen (180 -sen  sen  +1 sen   - 1   90 180 270 360 - 1  

sen  sen (180 + sen  +1  90 180 270 360 - 1

sen  sen (180 + sen  +1  90 180 270 360 - 1 

sen  sen (180 + sen  +1  90 180 270 360 - 1 

sen  sen (180 + sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

sen  sen (180 + sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

sen  sen (180 + sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

sen  sen (180 + sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

sen (180 + sen  sen  +1 sen   - 1   90 180 270 360 - 1  

IL COSENO DI UN ANGOLO

b b’ b” = = = cos  c c’ c” c” c’ c b b’ b” ANALOGAMENTE A QUANTO FATTO PER LA FUNZIONE sen, DEFINIAMO UN’ALTRA FUNZIONE, CHE CHIAMIAMO: COSENO DELL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B c  C C’ C” A b b’ b” b b’ b” = = = cos  c c’ c”

b b cos  = = 1 Consideriamo nuovamente il cerchio di raggio r=1 È chiaro che questa volta è il segmento b, che coincide con il coseno dell’angolo b cos  = b = 1 r=1  b

Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen  e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche cos  +1 r=1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen  e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche cos  +1 r=1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni

Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen  e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche sen  +1 VERIFICA r=1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni

cos  +1  b=r=1  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  b=0  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  -b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  -b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  -b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  b=-r= -1  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos 0 1 cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos 0 1 cos  cos 90 0 +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

b cos  = cos 0 1 cos 90 0 cos 180 -1 cos  +1  b  - 1 90  90 180 270 360 - 1 cos  = b

b cos  = cos 0 1 cos 90 0 cos 180 -1 cos 270 0 cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

b cos  = cos 0 1 cos 90 0 cos 180 -1 cos 360 +1 cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

b cos  = cos 0 1 cos 90 0 cos 180 -1 cos 270 0 cos 360 +1  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  cos (180 -- (cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  cos (180 -- (cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  cos (180 -- (cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

cos  cos (180 +- (cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

RIEPILOGANDO

sen  a/c cos  b/c sen 90 1 sen 0 0 sen 180 0 sen 270 -1 cos (180 -- (cos  sen (180 + sen  cos (180 +- (cos  fine