EQUAZIONI

EQUAZIONI Si dice equazione un’uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti una o più lettere. Si chiama soluzione di un’equazione quel numero che sostituito all’incognita la rende un’identità. Un’equazione si dice impossibile, determinata o indeterminata se ha rispettivamente nessuna, un numero finito o un numero infinito di soluzioni. Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Sommando o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione una stessa quantità si ottiene un’equazione equivalente (I PRINCIPIO DI EQUIVALENZA). Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per una stessa quantità non nulla si ottiene un’equazione equivalente (II PRINCIPIO DI EQUIVALENZA).

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Data l’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 con a≠0 la sua formula risolutiva è x1/2 = -b ± √b2 – 4ac 2a dove  = b2 – 4ac è detto discriminante. Se  > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali distinte; Se  = 0 l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti; Se  < 0 l’equazione non ammette alcuna soluzione reale.

Equazione pura (b=0): ax2 + c = 0 Equazione spuria (c=0):ax2 + bx = 0 Equazione monomia (b=c=0): ax2=0

RELAZIONI TRA LE SOLUZIONI E I COEFFICIENTI DI UN’EQUAZIONE DI II GRADO Data l’equazione di II grado: ax2 + bx + c = 0 con a≠0

In ogni equazione di secondo grado con il primo coefficiente uguale a 1, la somma delle soluzioni è uguale al coefficiente del secondo termine cambiato di segno ed il prodotto è uguale al termine noto.

REGOLA DI CARTESIO In ogni equazione di secondo grado avente Δ positivo o nullo, a ogni variazione corrisponde una soluzione positiva e a ogni permanenza una soluzione negativa. Quando le soluzioni sono discordi, è maggiore in valore assoluto quella positiva se la variazione precede la permanenza, mentre è maggiore in valore assoluto quella negativa se la permanenza precede la variazione. In un polinomio ordinato si dice permanenza la successione di due coefficienti di segno uguale, si dice variazione la successione di due coefficienti di segno opposto.

TEST 7) L’equazione 9 = 3x / 4 ha come soluzione: A) x = 12/9 B) x = 3 C) x = 27/4 D) x = 12 E) x = 108

8) Relativamente alla soluzione dell’equazione algebrica di primo grado Ax – B = 0 quale delle seguenti affermazioni è CORRETTA? A) l’equazione non ha soluzioni reali se: A>0, B<0 B) l’equazione non ha soluzioni reali se: A<0, B<0 C) l’equazione non ha soluzioni reali se: A>0, B=0 D) l’equazione non ha soluzioni reali se: A>0, B>0 E) l’equazione ha soluzioni reali sempre (purché A sia diverso da 0)

9) Per a diverso da 0, l’equazione ax+b=0 ha soluzione: A) x = a-b B) x = -b/a C) x = -a/b D) x = a/b E) x = b/a

10) L’equazione di secondo grado ax2+b=0 ha radici reali, quando: A) a < 0 e qualunque sia il segno di b B) b < 0 e qualunque sia il segno di a C) a e b sono entrambi positivi D) a e b hanno segni opposti E) a e b sono entrambi negativi

11) Nell’equazione completa e ordinata 3x2 -7x +2 = 0 si hanno: A) due variazioni B) due permanenze C) una variazione e una permanenza D) una permanenza e una variazione E) nessuna variazione

12) Data l’equazione 2x2 + bx + c = 0, qual è la coppia di valori di b e c che produce le soluzioni 11 e 3? A) b=-28 c=-33 B) b=14 c=-66 C) b=-28 c=66 D) b=-7 c=33/2 E) b=14 c=-33

13) Le radici dell’equazione (x - a)(x + b)(x - c) = 0 sono: 13) Le radici dell’equazione (x - a)(x + b)(x - c) = 0 sono: A) –a, b, -c B) a, -b, c C) 1/a, 1/b, 1/c D) a2, b2, c2 E) a, b, c

14) Uno studente ha sostenuto N esami 14) Uno studente ha sostenuto N esami. Se ne avesse sostenuti il triplo, ne avrebbe 6 in meno del suo amico, che ne ha sostenuti 18. Quanto vale N? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

TEST DI AUTOVALUTAZIONE

4) L’equazione algebrica di secondo grado: Ax2 + 2Bx + C = 0 in uno dei seguenti casi NON ha soluzioni nel campo reale. In quale caso? A) A>0, B=0, C<0 B) A>0, B=0, C>0 C) A=0, B>0, C<0 D) (B2 - AC) > 0 E) (B2 - AC) = 0

5) Un padre ha 50 anni e il figlio 26 5) Un padre ha 50 anni e il figlio 26. Quando l’età del padre è tripla di quella del figlio? A) mai B) 14 anni fa C) fra 14 anni D) non è possibile stabilirlo E) quando il padre avrà 78 anni

7) Un’equazione binomia è: A) un’equazione che ammette una duplice 7) Un’equazione binomia è: A) un’equazione che ammette una duplice soluzione B) un’equazione che ammette una doppia denominazione C) un’equazione che può essere risolta secondo due differenti metodi D) un’equazione che comprende in tutto due termini, di cui almeno uno contiene l’incognita E) non esiste

8) Quali fra le seguenti equazioni sono equivalenti fra loro 8) Quali fra le seguenti equazioni sono equivalenti fra loro? 1) 6x – 4 = 8 2) 6x – 1 = 2 3) x (6x – 4) = 8x 4) 3x – 6 = 0 A) la 1) e la 4) B) la 1) e la 2) C) la 1) e la 3) D) la 2) e la 4) E) la 3) e la 2)