La trasformata Z
Definizione La trasformata Z di una sequenza x(n) è definita come: ove z è una variabile complessa. Si può considerare anche la trasformata monolaterale (one-sided) in cui n varia tra 0 e ∞ Se si esprime la variabile complessa z in coordinate polari: z=reiω: Che si può interpretare come la trasformata di Fourier di x(n) moltiplicata per un fattore esponenziale. Per r=1 è esattamente la trasformata di Fourier.
Convergenza La trasformata Z, come quella di Fourier non converge per tutte le sequenze o per qualsiasi valore di z. Grazie al fattore r-n, la trasformata Z può convergere anche quando la trasformata di Fourier non converge. Per esempio, per il gradino unitario x(n)=u(n), Fourier non converge, mentre Z converge per |r|>1, e di conseguenza per 1<|z|<∞.
Funzioni razionali Una classe importante di trasformate Z, è quella in cui X(z) è una funzione razionale, come un rapporto fra polinomi. Le radici del polinomio a numeratore sono quei valori di z per cui X(z)=0 e si dicono zeri di X(z). Le radici del polinomio a denominatore rendono X(z)=∞ e si chiamano poli. Non ci possono essere poli nella regione di convergenza.
Esempio Consideriamo la sequenza: Per |z|>|a| sarà: Vediamo che X(z) ha uno zero in z=0 ed un polo in z=a. Im Regione di convergenza Re X a
Proprietà Linearità: date Z(x(n))=X(z) e Z(y(n))=Y(z) con i rispettivi domini di convergenza, sarà: Z(ax(n)+by(n))=aX(z)+bY(z) in un dominio di convergenza che è almeno la sovrapposizione dei due. Per sequenze razionali, se i poli sono l’unione dei poli si X e Y la regione di convergenza è esattamente la sovrapposizione dei due. Spostamento di sequenza: data Z(x(n))=X(z), allora Z(x(n+n’))=zn’X(z). Moltiplicazione per una esponenziale: Z(anx(n))=X(a-1z) per |a|Rx-<|z|<|a|Rx+ Differenziazione: Z(nx(n))= -z dx(z)/dz
Convoluzione Se w(n) è la convoluzione di due sequenze x(n) e y(n), allora Z(w(n))=X(z)Y(z). Infatti: Invertendo l’ordine delle somme e cambiando l’indice della seconda da a m=n-k: