MASSIMI E MINIMI Una funzione è crescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso l’alto

MASSIMI E MINIMI Definizione rigorosa: data la funzione f:D→R e dato un intervallo I la f si dice CRESCENTE in I se… I

MASSIMI E MINIMI …per ogni coppia di punti x1 e x2 appartenenti a I e tali che: Risulta: F(X2) F(X1) X2 X1 I

MASSIMI E MINIMI Una funzione è decrescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso il basso

MASSIMI E MINIMI Definizione rigorosa: data la funzione f:D→R e dato un intervallo I la f si dice DECRESCENTE in I se… I

MASSIMI E MINIMI …per ogni coppia di punti x1 e x2 appartenenti a I e tali che: Risulta: F(X1) F(X2) X2 X1 I

MASSIMI E MINIMI Un punto Xo si dice punto di massimo relativo di un funzione f se esiste un intorno di Xo in cui f(Xo) è il massimo valore assunto dalla funzione F(Xo) Xo I

MASSIMI E MINIMI Nell’esempio, sull’intervallo I la funzione assume il suo massimo valore in Xo. F(Xo) Xo I

MASSIMI E MINIMI Ma se guardiamo su tutto il dominio la funzione assume valori anche maggiori, ad esempio in X1 F(X1) F(Xo) Xo X1 I

MASSIMI E MINIMI Un punto Xo si dice punto di minimo relativo di un funzione f se esiste un intorno di Xo in cui f(Xo) è il minimo valore assunto dalla funzione F(Xo) Xo I

MASSIMI E MINIMI Nell’esempio, sull’intervallo I la funzione assume il suo minimo valore in Xo. F(Xo) Xo I

MASSIMI E MINIMI Ma se guardiamo su tutto il dominio la funzione assume valori anche minori, ad esempio in X1 F(Xo) F(X1) Xo X1

MASSIMI E MINIMI Un punto Xo si dice punto di flesso di un funzione f se la curva attraversa la tangente in quel punto F(Xo) Xo

MASSIMI E MINIMI La determinazione dei massimi e dei minimi relativi e degli intervalli in cui una funzione cresce o decresce è molto semplice per funzioni derivabili; infatti tutto ciò è determinato dal segno della derivata.

MASSIMI E MINIMI Sia f derivabile in un dato intervallo I, allora: se la funzione è crescente in I allora la derivata è maggiore o uguale a zero in tale intervallo se la funzione è decrescente in I allora la derivata è minore o uguale a zero in tale intervallo

MASSIMI E MINIMI Viceversa: se la derivata è maggiore di zero in I allora la funzione è crescente I se la derivata è minore di zero in I allora la funzione è decrescente in I

MASSIMI E MINIMI Per trovare i massimi e i minimi relativi di una funzione derivabile è quindi necessario studiare il segno della derivata prima

MASSIMI E MINIMI f’(x)>0 => funzione crescente f’(x)<0 => funzione decrescente

MASSIMI E MINIMI Resta da determinare il caso in cui la derivata è uguale a zero

MASSIMI E MINIMI Sia f’(Xo) = 0; se f è crescente a sinistra di Xo e decrescente a destra Xo è MASSIMO RELATIVO se f è decrescente a sinistra di Xo e crescente a destra Xo è MINIMO RELATIVO

MASSIMI E MINIMI Xo Xo MASSIMO MINIMO

MASSIMI E MINIMI Sia f’(Xo) = 0; se la funzione è crescente sia a sinistra che a destra Xo è punto di flesso a tangente orizzontale ascendente se la funzione è decrescente sia a sinistra che a destra Xo è punto di flesso a tangente orizzontale discendente

MASSIMI E MINIMI Xo Xo Flesso ascendente discendente