TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Michel Rolle (1652-1718)

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Una curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontale tangente curva Punto a tangente orizzontale a b

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Per rendere questo un teorema matematico è necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarlo tangente curva Punto a tangente orizzontale a b

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Senza salti = funzione continua Senza spigoli = funzione derivabile Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b) Punto a tangente orizzontale: f’(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Quindi: Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al più agli estremi e sia f(a)=f(b) Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che f’(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Dimostrazione CASO 1: sia f una funzione costante In tal caso il teorema è banale perché una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c è un punto qualsiasi dell’intervallo

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Caso f costante curva tangente Punti a tangente orizzontale: TUTTI! a b

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Dimostrazione CASO 2: sia f non costante Poiché la funzione è continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Poiché la funzione non è costante massimo e minimo sono diversi (M≠m), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dell’intervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Caso f non costante; qui per esempio il massimo cade all’interno dell’intervallo M curva F(a)=F(b) a b

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Supponiamo che sia M a cadere all’interno dell’intervallo e che c sia la sua ascissa f(c)=M In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, è anche punto di massimo relativo

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Ma il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata è uguale a zero, quindi f’(c)=0 CVD

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Il teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione può avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e non hanno punti stazionari y=fraz(x) [0,1] y=|x| [-1,1] y=x [0,1]

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e hanno punti stazionari y=D(x) [0,1] y=|x2-1| [-2,2] y=x2 [-1,2]

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Questa non è derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non è richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle Y=√(1-x2) [-1,1]

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Siano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b] continue su tale intervallo derivabili salvo al più agli estremi e sia g(a)≠g(b), g’(x)≠0 Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Dimostrazione Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) così definita: Dove K è una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Poiché f e g sono continue e derivabili anche F lo è, quindi basta fare in modo che sia: F(a)=F(b) Sostituendo:

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Con qualche calcolo si ricava il valore di K

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Poiché con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno all’intervallo in cui risulta: F’(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Ma poiché F è: Derivando: E uguagliando a zero:

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Ovvero: E ricordando che K è: Sostituendo: CVD

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI LAGRANGE Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813) Il teorema è un caso particolare di quello di Cauchy

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI LAGRANGE Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al più agli estremi Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Dimostrazione Basta ricordare la formula di Cauchy E prendere g(x) = x

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Infatti se g(x)=x allora: E inserendo questi risultati nella formula: CVD

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico tangente F(b) corda curva F(a) a c b

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Infatti: È il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dall’arco di curva tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b A(a,f(a)) B(b,f(b))

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Mentre: È il coefficiente angolare della tangente alla curva in C tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Il teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono uguali tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Ma se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Quindi: in un arco di curva regolare c’è sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda sottesa all’arco tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b