Quattordicesima Lezione Le Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori, polarizzazione onde piane, onde piane in direzione arbitraria, onde em in buoni conduttori

Riassunto della lezione precedente Teorema di Poynting: relazioni energetiche Condizioni al contorno per equazioni di Maxwell Teorema di unicità per problemi “interni”

Regime permanente armonico Immaginiamo un semplice circuito LR, con un generatore di corrente R i VR VL V? L Vogliamo calcolare la tensione misurata ai capi del generatore

Regime permanente armonico Legge di K. alle Maglie: La corrente che scorre è sempre i data (Legge di K. per le correnti), per cui: L R i VR VL V? Legge di Ohm Relazione per gli induttori quindi In generale, per un circuito lineare, a sorgenti armoniche corrisponderanno risposte armoniche con la stessa frequenza, con fasi diverse

Regime permanente armonico: i fasori Un espediente utile: l’uguaglianza di Eulero Allora potremo scrivere, per esempio oppure REGOLA 1: In pratica, invece delle funzioni armoniche, useremo la parte reale dell’esponenziale complesso Il vantaggio: integrazioni e differenziazioni banali, e le equazioni integrodifferenziali nel tempo che descrivono circuiti con memoria, divengono algebriche Di fatto, useremo nei conti tutto l’esponenziale, recuperando la parte reale solo alla fine

Regime permanente armonico: i fasori infatti Notiamo che in qualunque operazione ci ritroviamo exp(jwt) a fattore: perché non sottintenderlo? Questa sarà la nostra REGOLA 2: sottintendiamo l’esponenziale nel tempo (così il tempo non compare più da nessuna parte esplicitamente) Quel che rimane, lo chiamiamo Fasore ed è generalmente un numero complesso: per esempio Il fasore corrispondente a Acos(wt) è A Il fasore corrispondente a Asin(wt) è Quindi, quando rivogliamo la grandezza nel tempo, moltiplichiamo il fasore per exp(jwt) e prendiamo la parte reale del risultato. Vediamolo per il nostro semplicissimo esempio

Regime permanente armonico: i fasori In termini fasoriali la corrente che scorre nel circuito è semplicemente i0 e … il cappelletto solo per ricordare che sto usando il trucco dei fasori e che le quantità possono essere complesse. Quindi Se vogliamo recuperare l’espressione nel tempo? Semplice!

Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per jw L’equazione di Helmholtz Diventa (nota, non usiamo il cappelletto per semplificare le notazioni…) La quantità w/c si definisce numero d’onda, e si indica con k; si definisce anche un vettore d’onda, come un vettore di modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting

Onde piane in regime armonico permanente Vediamo di nuovo il caso dell’onda piana: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z x z L’equazione d’onda per il campo elettrico diventa semplicemente La soluzione è una combinazione di esponenziali in k Volendo recuperare l’espressione nel tempo, per esempio della componente progressiva (assumiamo E+ reale (E0) per semplificare) CVD

Polarizzazione onde piane Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente (anche ovviamente se con due componenti di campo E, purché l’oscillazione avvenga in un piano) Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi, generano un’onda non polarizzata Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un’ onda polarizzata ellitticamente

Polarizzazione onde piane Infatti, se per esempio abbiamo Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0) Che è l’equazione parametrica di una ellisse. Se Y è p/2 ed E1=E2 è proprio una circonferenza: polarizzazione circolare

Polarizzazione onde piane Infatti, nella polarizzazione circolare avremo

Polarizzazione onde piane In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica) Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase dell’onda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in generale con l’accorgimento di usare la giusta velocità

Polarizzazione onde piane Polarizzazione Lineare Polarizzazione Circolare

Onde piane in direzione arbitraria Abbiamo introdotto le onde piane pensando ad una propagazione lungo un asse (z) Vediamo come generalizzare il discorso al caso un cui compaiono tutte le variabili spaziali: facciamolo direttamente per i fasori Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti

Onde piane in direzione arbitraria L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione generale per l’onda piana Cioè, il vettore d’onda k che ha modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a kx, ky, kz

Onde piane in direzione arbitraria Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana che si propaga lungo una direzione generica:

Onde piane in direzione arbitraria In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano” Sia E che H ortogonali a k

Onde piane in direzione arbitraria Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima ovvero Dove h è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza l’espressione già trovata!

Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei I conduttori sono quelli per i quali si ha movimento di cariche per un campo elettrico applicato, ovvero esiste una corrente di conduzione che soddisfa la legge di Ohm Per cui l’equazione di Ampère diventa (fasori) Se il secondo termine (corrente di conduzione) domina sul primo (corrente di spostamento) così che la corrente di spostamento possa essere trascurata fino alle frequenze radio più alte (non ottiche), il materiale di definisce “buon conduttore”

Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei Sappiamo che in un conduttore (anche reale) non vi sono cariche libere: infatti ricordando che la divergenza di un rotore è nulla, abbiamo dalla legge di Ampère Per cui Allora, per un “buon conduttore”: la carica libera è zero vale la legge di Ohm corrente di spostamento trascurabile rispetto alla corrente di conduzione, per cui

Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei Allora, dalla legge di Faraday Usando la solita identità per il rotore di rotore, ricordando che la divergenza di E è nulla (no cariche), e sostituendo l’espressione del rotore di H Equazione d’onda per i conduttori Ricordando poi la legge di Ohm Ricaviamo l’equazione per J

Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei Il caso più semplice è quello monodimensionale: conduttore piano di profondità infinita su cui incida un’onda piana ortogonalmente In tal caso, J alla superficie segue l’andamento di E (grazie alla legge di Ohm), e vale E H z J L’equazione d’onda per E diventa x Le cui soluzioni sono ancora una volta esponenziali

Effetto pelle Le condizioni al contorno impongono C2=0 (o il campo crescerebbe fino all’infinito per x crescenti) e C1=E0 Ora per definizione Per cui, ricordando che avremo x Dove d è dimensionalmente una distanza (metri) e si chiama profondità di penetrazione

Effetto Pelle Allora riscriviamo le nostre soluzioni in termini di tale parametro Termine di attenuazione Termine di sfasamento Quindi, il campo penetrando si attenua (fino a ridursi di un fattore e per x=d,circa 37%) e si sfasa E H Il risultato è rigorosamente valido solo per conduttori piani, ma funziona in generale per valori di d minori della curvatura della superficie x J

Effetto pelle Evoluzione temporale della soluzione calcolata Un caso “vero”: distribuzione di corrente su una striscia di rame di 70 micron, al variare della frequenza tra 1 e 5 GHz. Ottenuto da un metodo rigoroso