ISTITUTO COMPRENSIVO “ G. VERGA” FIUMEFREDDO DI SICILIA PROGRAMMA OPERATIVO NAZIONALE - FONDO SOCIALE EUROPEO 2007 - IT 05 1 PO 007 “COMPETENZE PER LO SVILUPPO” annualità 2008/09 PILLOLE DI MATEMATICA PER SCUOLA SECONDARIA STUPEFACENTI NUMERI PRIMI Docente esperto: L. Andò Tutor: A. Finocchiaro

Introduzione Gli esseri umani non avevano né il concetto di numero, né la capacità di contare. La migliore prova di ciò è che esistono tuttora popolazioni che non hanno sviluppato il concetto di numero, e nei cui linguaggi le parole per la serie dei numeri non esistono: "uno", "due" e "molti" rappresentano ancora le uniche grandezze utilizzate; si tratta, ad esempio, di tribù isolate in Africa, in Oceania od in Amazzonia.

Introduzione Come può ad esempio un pastore, totalmente analfabeta in aritmetica, controllare che il suo gregge di 14 pecore è tornato intatto dal pascolo all'ovile? Egli non ha alcun concetto di "14", però può semplicemente risolvere il suo problema così: il pastore prende un bastone e quando fa uscire le sue pecore dall'ovile, fa una tacca sul bastone per ogni pecora che esce. Al ritorno dovrà solo scorrere con un dito le tacche sul bastone, una per ogni pecora che rientra, e verificare così di non averne persa nessuna. 

Introduzione Il pastore conta senza numeri ! Perché parliamo di contare senza il numero? Perché a questo stadio non c'è il concetto di numero, ad esempio non ci sono nemmeno le parole per indicare i singoli numeri, nè tanto meno dei simboli; c'è solo la pratica del mettere in corrispondenza due insiemi di oggetti.  Il successivo passo essenziale sarà di avere delle parole per i singoli numeri, e poi dei simboli.

Introduzione Il sistema posizionale La sua principale idea, come suggerisce il nome, è che i simboli usati per le cifre non abbiano un valore fisso: il loro valore dipende dalla loro posizione nella scrittura del numero.

Introduzione 11 <12< 13 I NUMERI NATURALI Il simbolo rappresentativo dei numeri naturali è N e questi possiedono  alcune caratteristiche, che indichiamo di seguito: I numeri naturali  si indicano con linguaggio insiemistico in questo modo: N= [ 0; 1; 2; 3; 4; 5, 6; 7; 8; 9;………] 2) I numeri naturali sono infiniti. Infiniti vuol dire che non è mai possibile raggiungere l’ultimo numero della successione. Se, infatti, consideriamo un numero molto grande, aggiungendo 1 è sempre possibile trovare il numero successivo. Questo procedimento non ha mai fine. 3) Un numero naturale qualsiasi, ad esempio il 12, ha sempre un successivo o consecutivo e un precedente o antecedente :  11 <12< 13 4) Lo zero (0) è l’ unico numero che non ha un precedente ma solo un successivo. 5) L’insieme dei numeri naturali è ordinato

Introduzione Si dice MULTIPLO di un numero naturale a, diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per un numero qualsiasi della successione dei numeri naturali: [0,1,2,3,4...] Es: 5x3 = 15,  dove 15 è multiplo di 5 secondo il numero 3. Poiché la successione dei numeri naturali è infinita, anche i multipli di un numero sono infiniti. Per esempio, i multipli di M(13) =  [0,13, 26, 39, 52...]

Introduzione I divisori di un numero Se un numero, diviso per un altro, dà come resto zero, diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo. Es: 12 : 4 = 3   con  resto = 0 Se questo non succede, come nella divisione 20 : 8 = 2,  con resto = 4 diremo che 8 non è un divisore di 20 e che, pertanto, 20 non è divisibile per 8.

Numeri primi Cosa sono i numeri primi? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Sono numeri interi e positivi che hanno come divisori solo l’unità e se stessi, eccone un breve elenco 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … come vedete manca il numero 1, dopo vedremo il motivo. I numeri primi sono uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi. Questo dipende in larga parte dalla possibilità di poter costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi; in un certo senso, essi sono i costituenti fondamentali di tutti i numeri. 71 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67

Numeri primi Ma quand’è che l’uomo ha iniziato a interessarsi ai numeri primi ? presto, molto presto! Nel 1950 a Ishango, località dell’Africa equatoriale sita nei pressi del Lago Rodolfo, fu ritrovato un osso (datato 8500 a. C.) inciso su tre lati da tacche trasversali si tratta del più antico reperto correlato ai numeri primi, è conservato al Museo di Storia Naturale di Bruxelles. Ma che relazione ha con i numeri primi ? In una delle colonne in cui è suddiviso l’osso compaiono 11, 13, 17 e 19 tacche cioè i numeri primi fra 10 e 20. Sarà un caso? O effettivamente già allora gli uomini conoscevano i numeri primi ?

Numeri primi I numeri primi tornano alla ribalta nell’antica Grecia grazie ad Euclide (circa 365-300 a. C.) Euclide è il più importante matematico dell'antichità, conosciuto soprattutto per il suo trattato di geometria, gli Elementi . E' composto da 13 libri concernenti la geometria piana, le proporzioni, la teoria dei numeri, le grandezze incommensurabili e la geometria solida. Il libro VII degli Elementi inizia con una serie di 22 definizioni sui diversi tipi di numero, la definizione n° 11 riporta quella di numero primo. Con la proposizione 20 del libro IX degli Elementi, Euclide dimostrò, con un semplice ed elegante ragionamento, che i numeri primi sono infiniti.

Numeri primi Numero da analizzare: 11 È primo, non ci sono resti nulli Numero da analizzare: 11 Divisione per Risultato divisione resto 2 5 1 3 4 6 7 8 9 10 Primo algoritmo per riconoscere i numeri primi Come possiamo fare per riconoscere se un numero N è primo ? Basta dividerlo per tutti i numeri interi a partire da 2 fino a N-1, se tutte queste divisioni hanno resto diverso da zero allora il numero è primo, altrimenti è composto.

Numeri primi Numero da analizzare: 10 2 3 4 6 7 8 9 Divisione per Risultato divisione resto 2 5 fattore 3 1 4 6 7 8 9

Crivello di Eratostene Il crivello di Eratostene è un antico procedimento per il calcolo delle tabelle di numeri primi fino ad un certo numero n prefissato. Deve il nome al matematico Eratostene di Cirene (276-194 a.C.), che ne fu l'ideatore. È a tutt'oggi utilizzato come algoritmo di calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer; pur non essendo un algoritmo straordinariamente efficiente, infatti, è in compenso piuttosto semplice da tradurre in un qualsiasi linguaggio di programmazione.

Rarefazione dei numeri primi Più si procede lungo la successione dei numeri interi, più decresce la probabilità di trovare un numero primo, tuttavia questo calo è abbastanza lento. N° Numero di primi fra 1 e N Densità % 10 4 40 % 100 25 25 % 1000 168 16,8 % 10000 1229 12.3 % 100000 9592 9.59 % 1 milione 78498 7.8 % 10 milioni 664579 6.6 % 100 milioni 5761455 5.7 %

Rarefazione dei numeri primi I numeri primi, rarefacendosi, sembrano presentarsi a caso; nella loro distribuzione tuttavia, non c’è niente di casuale, perché il loro posto è determinato “nel vuoto”, dai multipli degli interi successivi. L’apparente casualità è soltanto un’illusione, generata dalla sovrapposizione di una moltitudine di strutture semplici. Riportiamo a fianco una immagine 200x200 tale che il pixel di posto (i,j) sia bianco se i+j e' un numero primo, sia nero altrimenti.

Poligoni stellati pentagono pentagono stellato Un poligono stellato è una linea spezzata chiusa che delimita un insieme stellato del piano. A differenza degli ordinari poligoni, la linea spezzata può autointersecarsi: coppie di spigoli distinti possono cioè intersecarsi in un punto interno. pentagono pentagono stellato

Poligoni stellati Cosa c’entrano i poligoni con i numeri primi ? Diamo prima una definizione Se due numeri a e b maggiori di zero hanno come unico fattore comune 1, cioè se il loro Massimo Comun Divisore è uguale a 1, si dice che tali numeri sono primi tra loro o coprimi. Per esempio consideriamo 15 e 2: 15=3x5x1 e 2=2x1 vediamo che il fattore 1 è comune ad entrambi, ed è anche l’unico comune ad entrambi pertanto 15 e 2 sono coprimi mentre non lo sono i numeri 15 e 3 15=5x3x1 3=3x1 In questo caso 1 è un fattore comune, ma non è l’unico, c’è infatti anche il 3. Pertanto 15 non è primo con 3

Poligoni stellati Una interpretazione geometrica della nozione di numeri primi fra loro Un numero n è primo con un numero m di esso minore, se il poligono regolare stellato a n vertici congiunti di m in m è tracciato senza soluzione di continutà (senza staccare la matita dal foglio). 9 e 2 sono primi fra loro 7 e 3 sono primi fra loro 9 e 4sono primi fra loro

Aritmetica modulare Fu l’inventore dell’aritmetica modulare. Ma cos’è l’aritmetica modulare ? forse non lo sappiamo ma la usiamo spesso potremmo chiamarla l’aritmetica dell'orologio: Carl Fiedrich Gauss (30/4/1777 (Brunswick)-23/2/1855 (Goettingen))

ho eseguito le operazioni sul quadrante di un orologio Aritmetica modulare Che succede ? Eseguiamo qualche operazione 10 + 8 = 6 8 + 7 = 15 10 + 8 = 18 8 + 7 = 3 12 + 1 = 1 5 + 11 = 4 12 + 1 = 13 5 + 11 = 16 ho eseguito le operazioni sul quadrante di un orologio

Aritmetica modulare 9 + 7 = 4 6 x 8 = 12 3 - 6 = 9 2 - 4 = 10 5 - 3 = 11 2 x 4 = 8

Aritmetica modulare L’addizione si può sempre eseguire, basta girare la lancetta in senso orario. …ma anche la sottrazione! 8-3=5, basta girare la lancetta all’indietro, 3-8=7. Addizione e sottrazione sono sempre possibili ! È proprio strano, in un insieme così piccolo si possono fare sempre queste operazioni, mentre in N, che è un insieme infinito, tante sottrazioni non sono possibili. Anche la moltiplicazione è sempre possibile ! Infatti 3x5 vuol dire 3 volte 5, cioè è una particolare addizione.

Aritmetica modulare tabelline x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11   1   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2   2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 3   3 6 9 3 6 9 3 6 9 4   4 8 4 8 4 8 4 8 5   5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7 6   6 6 6 6 6 6 7   7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 8   8 4 8 4 8 4 8 4 9   9 6 3 9 6 3 9 6 3 10   10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 11   11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

TABELLA DI MOLTIPLICAZIONE Aritmetica modulare TABELLA DI MOLTIPLICAZIONE Stranezze: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ● ci sono tanti zeri in mezzo Nell’orologio a 12 elementi non vale la legge di annullamento del prodotto. ● i numeri si ripetono in tutte le tabelline, tranne in quelle del 1, 5, 7, 11. ● esempio: 2x4=8; 5x4=8, 8x4=8 e visto che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione: 8:4=2; 8:4=5; 8:4=5 ? ? ? ?

Aritmetica modulare Φ(18) = 18(1 - 1/2)(1 - 1/3) = 18(1/2)(2/3) = 6 ad esempio se prendiamo n = 18 = 32x2, i fattori primi sono 2 e 3 e la funzione di Eulero vale: Φ(18) = 18(1 - 1/2)(1 - 1/3) = 18(1/2)(2/3) = 6 ed effettivamente sono 6 i numeri primi con 18: 1, 5, 7, 11, 13, 17 Questo esempio ci permette anche di giustificare la formula, come una sorta di setaccio: all'inizio i numeri in gioco sono tutti e 18 (da 1 a 18); poi essendo 18 multiplo del due si escludono tutti i numeri pari, che sono la metà del totale e ne restano 9, come dalla prima parte della formula 18(1 - 1/2) 1,3,5,7,9,11,13,15,17 A questo punto essendo anche 3 un fattore primo di 18, si escludono tutti i multipli del tre che sono un terzo del totale; ne restano i due terzi, appunto (1 - 1/3), dei nove rimasti ovvero i sei già visti: 1,5,7,11,13,17 È evidente che il procedimento resta valido per qualsiasi numero e per qualsiasi numero di fattori e questo giustifica la formula di sopra. Se n è primo allora ovviamente Φ(n) = n - 1 Se n è il prodotto di due numeri primi p e q, è facile verificare che Φ(n) = (p - 1)(q - 1).

Aritmetica modulare xΦ(N) = 1 mod N Inverso di un numero in una aritmetica modulare di modulo N L'inverso di un numero x in un'aritmetica modulare di modulo N è quel numero y per il quale risulta: xy = 1 mod N. Ad esempio riprendendo la tabella della moltiplicazione in Z5, notiamo che l’inverso di 1 è 1, l’inverso di 2 è 3, l’inverso di 3 è 2, e l’inverso di 4 è4. Per trovare l’nverso di un numero in ZN, si può procedere “a tentativi”, se non si ha a disposizione la tabella delle moltiplicazioni. Tuttavia un metodo di calcolo è fornito, quando x ed N sono primi tra di loro, dal teorema di Eulero-Fermat che asserisce: xΦ(N) = 1 mod N dove Φ(N) è la funzione di Eulero. x 1 2 3 4

Aritmetica modulare Crittografia, aritmetica modulare e numeri primi. Crittografia è parola di origine greca per scrittura segreta; si tratta quindi dell'arte di scrivere messaggi segreti che possano essere letti e compresi solo dal destinatario; una tecnica che risale alla più remota antichità, se già la Bibbia parla di un codice segreto per scrivere il nome di Babele (il codice Atbash). I cifrari tradizionali sono tutti caratterizzati da una chiave segreta. Mittente e destinatario dei messaggi segreti devono preventivamente concordare una qualche chiave da mantenere segreta: una parola segreta (oggi la si direbbe una password) o una griglia o un numero o una qualche tabella di codifica.

Aritmetica modulare Questa necessità di comunicarsi la chiave segreta è un grosso punto debole: o ci si vede di persona e in luogo riservato, o si deve usare un canale di comunicazione assolutamente sicuro, cosa molto difficile da ottenersi (e se si dispone di un tale canale ... la crittografia diviene inutile); la scoperta della chiave da parte del nemico sarebbe fatale alla segretezza del messaggio.

Aritmetica modulare Esempio di cifratura della lettera “ d “. In effetti più che di un codice segreto, si tratta di un sistema di telecomunicazione, di fatto un telegrafo ottico. Telegrafi a torce esistevano da molti secoli ed erano stati descritti da Enea il tattico intorno al 350 a.C, ma erano basati su un limitato elenco di messaggi possibili; quello di Polibio si basa invece sulla scomposizione del messaggio nelle singole lettere ed era quindi in grado di trasmettere qualsiasi messaggio. Esempio di cifratura della lettera “ d “.

Aritmetica modulare Il codice di Cesare A B C D E F G H I L M N O P Q E’ un codice di sostituzione molto semplice, nel quale ogni lettera del testo viene sostituita dalla lettera che la segue di tre posti nell’alfabeto. Più in generale si dice codice di Cesare un codice nel quale la lettera del messaggio chiaro viene spostata di un numero fisso di posti, non necessariamente 3. Poiché l’alfabeto è composto da 21 caratteri, sono possibili 21 alfabeti cifranti. A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z Esempio Frase da cifrare: Il sole brilla Frase cifrata: No vroh eunood