UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A TRASFORMATA DI LAPLACE Operatore lineare che permette di passare dal problema differenziale a quello algebrico tramite la trasformazione delle equazioni dal dominio reale del tempo t al dominio complesso delle frequenze s.

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A TRASFORMATA DI LAPLACE Se f(t) è una funzione a valore unico per t>0 ed F(σ) è assolutamente convergente per un qualsiasi valore σ 0 >0, allora: esiste la trasformata di f(t) per ogni s con parte reale maggiore di σ 0.

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A TRASFORMATA INVERSA Definita per tornare nel dominio del tempo (per t>0) dopo aver risolto algebricamente le equazioni differenziali. dove e e c>σ 0.

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A PROPRIETA DELLA TRASFORMATA La trasformata di Laplace è lineare La trasformata inversa di Laplace è lineare La trasformata della derivata di f(t) è: La trasformata dellintegrale è:

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A PROPRIETA DELLA TRASFORMATA Teorema del Valore iniziale Teorema del Valore finale Scaling nel tempo Scaling nel tempo per la trasformata inversa:

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A PROPRIETA DELLA TRASFORMATA Delay nel tempo Traslazione complessa Trasformata del prodotto di due funzioni (integrale complesso di convoluzione) Trasformata inversa del prodotto di due trasformate (integrale di convoluzione)

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A CALCOLO ANALITICO DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DI UN SERVO-ATTUATORE IDRAULICO Ipotesi: Il distributore è simmetrico Lasta del distributore è ideale con movimento perfettamente lineare. Le tolleranze radiali ed i trafilamenti sono nulli La pressione del circuito di ritorno è nulla Le aree di passaggio sono proporzionali allapertura x del distributore

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A CALCOLO ANALITICO DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DI UN SERVO-ATTUATORE IDRAULICO Ipotesi: Il pistone inizialmente si trova a metà del cilindro La forza di carico F L è linearmente proporzionale allo spostamento del pistone e la pressione di carico P L è definita come segue:

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ESPRESSIONE DELLE PORTATE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ESPRESSIONE LINEARIZZATA DELLA PORTATA IN PROSSIMITA DI UN PUNTO DI FUNZIONAMENTO A REGIME STAZIONARIO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A EQUAZIONE DI CONTINUITA Per spostamenti piccoli il volume spazzato è trascurabile per cui avremo e sottraendo membro a membro: volume olio nel cilindro

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A EQUAZIONE DI MOTO DEL PISTONE dove è il carico supposto linearmente proporzionale allo spostamento ed f v è un coefficiente con il quale si tiene conto dellattrito. Andando ad implementare un modello matematico lineare in prossimità di una condizione di funzionamento in regime stazionario è possibile scrivere:

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A EQUAZIONI DEL SISTEMA 1. equazione di moto2. portata 3. equazione di continuità4. retroazione

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A Dallequazione nr. 1 si ha: E quindi la nr. 2 diventa: Utilizzando la nr. 4:

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A Sostituendo le espressioni ottenute di Q e P L nella nr. 3 si ha:

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A Nel nostro caso specifico f(0)=0 per cui:

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A Andando ad eseguire la trasformata di Laplace: FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ATTUATORI CONTROLLATI DIRETTAMENTE DA VALVOLE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ATTUATORI CONTROLLATI DIRETTAMENTE DA VALVOLE Ipotesi: Il distributore è simmetrico Lasta del distributore è ideale con movimento perfettamente lineare. Le tolleranze radiali ed i trafilamenti sono nulli La pressione del circuito di ritorno è nulla Le aree di passaggio sono proporzionali allapertura x del distributore

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ANALISI DELLE PORTATE La portata di carico è:

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ANALISI ADIMENSIONALE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ANALISI DELLA POTENZA Calcolo della potenza massima:

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