Uncertainty and Sensitivity Analysis in Risk Assessment and Management Emanuele Borgonovo, Ph.D. (MIT) Istituto di Metodi Quantitativi Bocconi University emanuele.borgonovo@unibocconi.it

Il Problema Siete manager di un’azienda che gestisce parcheggi e dovete decidere se e come costruire un nuovo parcheggio. Siete manager evoluti dal punto di vista quantitativo, ovvero avete seguito il corso del Prof. Rocca.

Il Processo di Decisione Ipotesi Analisi di Sensibilità Input (Paramteri) Modello a Supporto delle decisioni Criterio di Valutazione Yes/No Clemen (1997, Ch.1)

Modelli Elementi comuni ai modelli: Incertezza iniziale Un modello è uno strumento matematico-logico che l’analista, il manager, lo scienziato, l’ingegnere sviluppa per: Predire il comportamento della realtà Predire l’andamento di un mercato Prendere una decisione relativa ad un investimento Elementi comuni ai modelli: Incertezza iniziale Una serie di ipotesi Una serie di input Eventi Risultato (output) del modello

(Niels Bohr, Nobel Prize for Physics) Attenzione!! Forecasting is easy … …. for the past by (Niels Bohr, Nobel Prize for Physics)

Costruzione del modello Costruire un modello richiede una conoscenza approfondita di: Problema Eventi rilevanti rispetto al problema Fattori che influenzano il comportamento delle quantità di interesse Raccolta dei dati e delle informazioni Statement e calcolo delle incertezze Occorre la verifica della coerenza del modello mediante analisi empirica, se possibile, e analisi di sensibilità

Esempio: la legge di gravità Vogliamo descrivere la caduta verticale di un corpo sulla superficie della terra. Adottiamo il modello: F=mg per la caduta dei corpi Ipotesi (?): Corpo puntiforme (niente rotazioni) Niente attrito Niente correnti atmosferiche Funziona per la caduta di un corpo posto a grande distanza dalla superficie terrestre?

Il modello in generale Output Parametri: sono I fattori Che influenzano l’output Forma Funzionale non Necessariamente Nota

Esempio Torniamo alla forza di gravità: Vediamo il modello in generale:

Un primo uso dell’analisi di sensibilità Cosa succede se m passa dal suo valore di riferimento al suo doppio, da m0 a 2m0? Dettagliamo meglio la domanda: F aumenta o diminuisce? Stessa domanda ma più in generale: L’output (Y) risponde con segno positivo o negativo alla variazione di uno o più parametri? Samuelson (1947, Nobel prize per l’Economia): “the response of our system to changes in certain parameters”

Attenzione… Le cose si complicano nella vita reale, perchè i modelli diventano complessi e non sono di solito trattabili analiticamente D’ora in poi, quindi assumiamo di non conoscere più la forma funzionale: ovvero, I metodi che discutiamo si applicano ad ogni modello ? Input Output x Y

Cos’è la Sensitivity Analysis E’ un insieme di metodi matematici che permettono, tramite la risposta a domande: “What if….?” di aprire la scatola nera

By A.Saltelli, Joint Research Center EC Black Box “Sensitivity analysis: would You go to an orthopaedist that does not use X-Ray?” By A.Saltelli, Joint Research Center EC

Cosa “esce” dalla Black-Box Misure di Importanza Analisi di Rischio Analisi di Incertezza Verifica della Correttezza

Importanza dei fattori in gioco E’ possibile stabilire l’importanza di ciascun fattore? Quale ipotesi influenza l’output del modello e quindi la decisione di più? E’ possibile quantiticare l’importanza di gruppi di ipotesi? L’applicazione dell’Analisi di Sensibilità permette di rispondere a queste domande

Analisi di Incertezza E’ possibile avere una misura del livello di confidenza nei risultati del modello? E’ possibile ripartire l’incertezza nei vari fattori? Dove ci si dovrebbe focalizzare per ridurre il più possibile l’incertezza nei risultati? L’applicazione di tecniche dell’Analisi di Sensibilità (globale) permette di rispondere a queste domande

Informazioni nell’analisi del rischio Come si distribuisce il rischio tra i fattori? Quale ipotesi tenere sotto osservazione per ridurre il rischio? E’ possibile trarre indicazioni dall’analisi di sensibilità in relazione all’analisi del rischio (anzi, l’origine è proprio quella…!)

Requisiti dei metodi di SA La tecnica utilizzata dovrebbe essere: Quantitativa e indipendente dal modello Capace di evidenziare interazioni, ovvero l’effetto di più variabili Evitare di escludere parametri rilevanti

Metodi di SA

Categorie di Metodi di SA Tecniche di SA locali [Cheok et al (1998), Borgonovo and Apostolakis (2001), Borgonovo et al (2003)] Screening Methods Morris (1991) and Kleijnen (2005)] Non-Parametric Techniques [Saltelli and Marivoet (1990)] Variance Based Techniques [Saltelli et al (1999), Sobol’ (1993), (2001), (2003)] Moment Independent Global SA techniques [Park and Ahn (1994), Chun et al (2000), Borgonovo (2005) and (2006)] Uncertainty Numerical Convenience

Analisi di Sensibilità Locale X2 X1 Y=f(X1,X2) Y0 x10 x20

Il Rationale delle tecniche di sensibilità locale

La misura di importanza differenziale Sia f(x) differenziabile in x0 . Allora, si definisce importanza differenziale del parametro xi la quantità [Borgonovo and Apostolakis, 2001; Borgonovo and Peccati, 2004, and 2006]: Di è la frazione del differenziale di f(x0) associate con xi.

Proprietà 1) Additività: 2) Somma ad 1: 3) Generalizza Derivate Parziali ed Elasticità H1: Uniform Changes H2: Proportional Changes

Misura di Importanza Differenziale Applicazioni Inventory Models Influence Diagrams Investment Project Evaluation Probabilistic Risk Assessment Food Safety

Applicazione all’analisi di investimento Investire in un parcheggio

Project Contractual Structure Shareholder Agreement Insurance Contracts Loan Agreement Price Market Risk SPC Merchant Sale Engineering Procurement Construction Contract Operation & Mantenance Contract

Large Projects Valuation: Criteria Sponsor’s Side: or Lender’s Side or

Auxiliary Calculations Model Structure Auxiliary Calculations Inputs Finstats Results

Stima dei flussi di cassa Proiezione della vita economica del progetto Livello di dettaglio molto elevato per progetti di ampio respiro

Determinazione dei Key-Drivers “Complex Non-linear models” (Van Groenendaal (1998), Kleijnen and Van Groenendaal (1997), (2002)). L’elevato numero di parametri in genere produce: Assenza della conoscenza di f(x) Problemi di computo (i.e., alti costi e tempi di calcolo [Kleijnen and Van Groenendaal (2002)] ) Problemi nella comunicazione dei risultati SA gioca ruolo cruciale nello svelare la dipendenza del Modello dai parametri SA è quindi essenziale nello sfruttare l’informazione del modello

Metodologia Numero di parametri: 428 Categorie: Entrate Costi di Costruzione Fiscali Finanziari Macroeconomici Spese Operative Valuation Criteria: NPV e <DSCR> Tre livelli di raggruppamento Level 3: parametri (428) Level 2: 17 grouppi Level 1: 6 grouppi Confronto attraverso i Savage Score corr. Coeff.

Algoritmo di calcolo Definizione Operativa: Allora la successione: tende a D per ogni successione xj tendente a 0. Per i=1,…,n, definendo: Si usa il criterio di Cauchy per fermare l’algoritmo. Test: Notate che si ottiene una risposta automatica ad una serie di “what if” questions

Local Risk Risk: “… potential variability of financial outcomes …” (White, Sondhi and Fried,1997) (=dV). Thus, locally, the parameter that is associated with the highest Ds is the one that causes the highest change in the valuation criterion (Borgonovo and Peccati (2006a).

Equity NPV, dalla parte degli investitori

Parameter ranking (Level 3)

NPV: Level 1

NPV: Level 2, 17 categories

Riassunto sui risultati per l’NPV I parametri relativi alle entrate sono i più importanti ke gioca un ruolo importante La leva finanziaria non è tra i 20 fattori più importanti 60 Parametri non influenti

Debt Service Coverage Ratio: dalla parte della Banca

DSCR: Level 3

DSCR: Level 1

DSCR: Level 3

Riassunto sui risultati per l’NPV Parametri delle entrate sono i più importanti Il costo del debito gioca un ruolo importante (simmetrico a kd) La leva è significativa (8th) Equity relevant parameters ke and retention ratio are non influential Tasse impattano di più NPV che DSCR

Confronto incrociato

Parametri singoli

Savage Score Correlation: Analisi del Ranking 30 parametri invariati di posizione 338 shifts. Max Shift: -352 (ke) Media: +9 positions. Rank Correlation: 0.88 Savage Score Correlation: 0.93 C’è un sostanziale accordo Key drivers tendono a coincidere Differenze rilevanti: ke e kd che si invertono leva

Level 3 Financial Structuring

NPV vs DSCR, Level 2

Conclusioni Introduzione alla SA (Misura di Importanza differenziale, Applicazione a modello Complesso) Analisi di SA consente di sfruttare appieno lo sforzo (ed il costo) della costruzione del modello

Grazie!! Domande?