Parabola Parabola

Sommario Concetto di funzione Funzione y = ax² + bx + c Equazione ax² + bx + c = 0 Disequazioni 2° grado Chiudi

Definizione di funzione Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B Esempi 2 3 5 4 3 7 4 5 A B ore 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Temp -5 -4 -3 -2 1 2 4 Continua Sommario

Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è esprimibile con espressioni algebriche. Si può farne il grafico sul piano cartesiano : Sommario

Funzione y = ax² + bx + c Disegniamo una parabola generica : Asse simmetria Possiamo notare un punto significativo detto vertice E una retta rispetto alla quale la figura è simmetrica, detta asse di simmetria. Vertice Se b = 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² Vediamo come si presenta il grafico assegnando ad a valori diversi (Clicca qui) Se b è diverso da 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² + bx Vediamo come agisce b sul grafico(Clicca qui) Poniamo b e c diversi da 0 la funzione diventa : y=ax² + bx + c Vediamo come agisce c sul grafico.(Clicca qui) Sommario

y = ax² a=1/4 a=1/2 a=1 a=2 a=4 a=8 a= -1/4 a= -1/2 a= -1 a= -2 a= -4 Tanto più piccolo è a tanto più la concavità è ampia Se a>0 la concavità è rivolta verso l’ alto, se a < 0 la concavità è verso il basso. Funzione y=….. Sommario

y = x² + bx Facciamo variare b osservando grafico e vertice b= - 4 ;V(2,-4) b=-3;V(3/2,-9/4) b= - 2;V(1,-2) b=-1;V(1/2,-1/4) b= 0;V(0,0) b= 1;V(-1/2,-1/4) b= 2;V(1,-2) Vertice b= 3;V(-3/2,-9/4) Vertice Vertice Vertice Vertice Vertice Vertice Dato che abbiamo posto a = 1 al variare di b possiamo dire che la coordinata x del Vertice si può calcolare V(- b/2a, …..) Funzione y = … Sommario

y= x² - 2x + c c = - 3 c = - 2 c = - 1 c = 0 c = 1 c = 2 Il parametro c mi dà l’ ordinata del punto di incontro della parabola con l’asse y. Se c non compare la parabola passa per l’origine. Funzione y=…. Sommario

Continua Prendiamo il sistema : Risolviamolo graficamente Punti di incontro : A B A( -1, 0) B( 3, 0) Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x –3 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta con x= - 1, ed x=3 che sono proprio le ascisse dei punti di incontro della parabola con l’ asse x. Continua Sommario

Consideriamo ora il sistema : Risolviamolo graficamente La parabola e l’asse x non hanno punti in comune. Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 2 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso non è soddisfatta da alcun valore di x. L’ equazione è impossibile. Continua Sommario

Risolviamolo graficamente Consideriamo infine il sistema : Risolviamolo graficamente La parabola e l’ asse x si toccano e quindi hanno un punto in comune. A( 1, 0) Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 1 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta da un solo valore di x. L’ equazione ha una soluzione x=1 Continua Sommario

Noooo !!!! C’è una formula un po’ complicata : Esempi Sommario Ma per risolvere un’equazione del tipo ax² + bx + c = 0 dobbiamo far tutti questi disegnini ? Noooo !!!! C’è una formula un po’ complicata : Dove a, b, c sono i coefficienti che compaiono nell’equazione. Come facciamo a sapere se l’equazione ha 2, 1, o nessuna soluzione ? Nella formula c’è l’espressione b²- 4ac sotto radice quadrata, questa espressione viene detta discriminante ed indicata con D (delta). Se D = b²- 4ac>0 posso estrarre la radice ed avrò due soluzioni. (La parabola taglia l’asse x) Se D = b²- 4ac=0 posso estrarre la radice ed avrò una soluzione. (La parabola tocca l’asse x) Se D = b²- 4ac<0 non posso estrarre la radice (indice 2, radicando negativo) e non avrò alcuna soluzione. (La parabola non tocca, né taglia l’asse x) Esempi Sommario

D>0 Esempi 2 Soluzioni D>0 2 Soluzioni D=0 1 Soluzione D<0 Grafico D>0 2 Soluzioni Grafico D=0 1 Soluzione Grafico D<0 Nessuna Soluzione Grafico Sommario

Disequazioni: Introduzione Disequazioni 1° grado Disequazioni 2° grado Sommario

Definizione Una disequazione è disuguaglianza tra due espressioni algebriche con una quantità incognita. Risolvere una disequazione significa trovare i valori o gli intervalli di valori, che sostituiti all’incognita, verificano la disuguaglianza. A differenza delle equazioni, quindi, le soluzioni di una disequazione sono intervalli di numeri o, se si sta lavorando a livello grafico, intervalli di punti. Tali intervalli possono essere : Limitati, Illimitati a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito Aperti, Chiusi a seconda che comprendano o no gli estremi Come per le equazioni si parla di grado. Il grado di una disequazione è l’esponente maggiore con cui compare l’incognita. Disequazioni Sommario

Si presentano sotto questa forma : Disequazioni 1º grado Si presentano sotto questa forma : Risoluzione con metodo grafico Grafico Grafico Disequazioni Grafico Sommario

y = ax² + bx + c è una parabola Disequazioni 2º grado Si presentano sotto questa forma : L’ espressione ax² + bx + c l’abbiamo già incontrata . y = ax² + bx + c è una parabola ax² + bx + c = 0 è un’equazione di 2° grado Per risolvere una disequazione di 2° grado prenderemo in considerazione sia l’ equazione che la parabola associate. Ricordiamo solo che la parabola può avere la concavità rivolta verso l’alto o verso il basso a seconda che il coefficiente a sia positivo o negativo. Ricordiamo inoltre che una equazione di 2° grado può avere nessuna, 1 o 2 soluzioni a seconda del valore del discriminante. Continua Sommario

In qualsiasi forma si presenti una disequazione di 2° grado si procede sempre nello stesso modo : 1) Si risolve l’equazione associata 2) Si fa un grafico approssimativo della parabola associata 3) Dal grafico si leggono le soluzioni della disequazione Considerando l’ espressione ax² + bx + c distinguiamo due situazioni : la prima con a > 0 , la seconda con a < 0 . Supposto a > 0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha: Due soluzioni Una soluzione Nessuna soluzione Supposto a <0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha: Due soluzioni Una soluzione Nessuna soluzione Disequazioni Sommario

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c > =0 ax² + bx + c < 0 Ipotesi : a>0 ; due soluzioni (discriminante >0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso l’alto taglia l’asse x in due punti Soluzioni per ax² + bx + c > 0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,aperti dall’altro ax² + bx + c > =0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,chiusi dall’altro ax² + bx + c < 0 Un solo intervallo limitato e aperto da ambo i lati ax² + bx + c <= 0 Un solo intervallo limitato e chiuso da ambo i lati Scelta Sommario

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c > =0 ax² + bx + c < 0 Ipotesi : a>0 ; una soluzione (discriminante =0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso l’alto tocca l’asse x in un punto Soluzioni per ax² + bx + c > 0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,aperti dall’altro ax² + bx + c > =0 Tutto l’ asse reale ax² + bx + c < 0 La parabola è sempre sopra o tocca l’ asse x ax² + bx + c <= 0 E’ soddisfatta per un solo valore di x, dove la parabola tocca l’asse x Scelta Sommario

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c > =0 ax² + bx + c < 0 Ipotesi : a>0 ; nessuna soluzione (discriminante <0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso l’alto E’ tutta nel semipiano positivo delle y Soluzioni per ax² + bx + c > 0 Tutto l’ asse reale Per ogni valore di x ax² + bx + c > =0 Tutto l’ asse reale Per ogni valore di x ax² + bx + c < 0 La parabola è sempre sopra l’ asse x ax² + bx + c <= 0 La parabola è sempre sopra l’ asse x Scelta Sommario

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c >= 0 ax² + bx + c < 0 Ipotesi : a<0 ; due soluzioni (discriminante >0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso taglia l’asse x in due punti Soluzioni per ax² + bx + c > 0 Un solo intervallo limitato e aperto da ambo i lati ax² + bx + c >= 0 Un solo intervallo limitato e chiuso da ambo i lati ax² + bx + c < 0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,aperti dall’altro ax² + bx + c < =0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,chiusi dall’altro Scelta Sommario

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c <= 0 ax² + bx + c < 0 Ipotesi : a>0 ; una soluzione (discriminante =0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso tocca l’asse x in un punto Soluzioni per ax² + bx + c > 0 La parabola è sempre sotto o tocca l’ asse x ax² + bx + c <= 0 E’ soddisfatta per un solo valore di x, dove la parabola tocca l’asse x ax² + bx + c < 0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,aperti dall’altro ax² + bx + c < =0 Tutto l’ asse reale Scelta Sommario

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c <= 0 ax² + bx + c > 0 Ipotesi : a>0 ; nessuna soluzione (discriminante <0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso E’ tutta nel semipiano positivo delle y Soluzioni per ax² + bx + c > 0 La parabola è sempre sotto l’ asse x ax² + bx + c <= 0 La parabola è sempre sopra l’ asse x ax² + bx + c > 0 Tutto l’ asse reale Per ogni valore di x ax² + bx + c < =0 Tutto l’ asse reale Per ogni valore di x Scelta Sommario