La retta Prof. Nunzio ZARIGNO

Definizioni Un’equazione di primo grado nelle due incognite x e y nel piano cartesiano definisce infiniti punti P(x;y) che formano graficamente (diagramma) una retta. Tale equazione, detta equazione della retta, può essere scritta in due forme: Forma implicita: dove a, b , c sono i coefficienti numerici; Prof. Nunzio ZARIGNO

Definizioni e in forma esplicita: m e q si ricavano dalle relazioni: m è detto coefficiente angolare della retta (rappresenta la pendenza, cioè rappresenta l’angolo tra l’asse x e la retta) q è il punto di intersezione della retta con l’asse y. Prof. Nunzio ZARIGNO

Data la retta di equazione con opportuni passaggi ESEMPIO: Data la retta di equazione con opportuni passaggi la sua forma esplicita sarà: in cui Se il coefficiente angolare è positivo la retta è crescente (aumentando il valore della x, aumenta anche quello della y), se è negativo la retta è decrescente (aumentando la x diminuisce la y). Prof. Nunzio ZARIGNO

Rette particolari a) se c = 0 (y = mx) la retta passa per l’origine (manca il termine noto); b) se a = 0 (y = k) la retta è parallela all’asse x (manca il termine con la x); c) se b = 0 (x = k) la retta è parallela all’asse y (manca il termine con la y); d) bisettrice del 1° e del 3° quadrante; e) bisettrice del 2° e del 4° quadrante. Prof. Nunzio ZARIGNO

Rappresentazione grafica Per rappresentare una retta basta individuare due punti (per due punti passa una ed una sola retta); se l’equazione è in forma esplicita uno dei due punti è sempre (0 ; q). ESEMPIO: Data la retta di equazione conviene portarla nella forma implicita e poi assegnare due valori arbitrari alla x (ad esempio -1 e 1) per ottenere i corrispondenti valori della y. Esempio: y = 3x+2 X y 1 f (-1) = 3(-1)+2 = -3 +2 = -1 + 1 + 5 f (+1) = 3(+1)+2 = +3 +2 = +5 Prof. Nunzio ZARIGNO

Rette parallele e perpendicolari Due rette di coefficienti angolari m1 e m2 sono: parallele se (coefficienti angolari uguali); perpendicolari se oppure (coefficienti angolari uno l’antireciproco dell’altro). Prof. Nunzio ZARIGNO

Retta passante per un punto Per un punto passano infinite rette (ognuna delle quali avrà coefficiente angolare diverso). L’equazione di tutte le rette passanti per un punto sarà: ; conoscendo il coefficiente angolare, si può ricavare l’equazione di una determinata retta. ESEMPIO: Sono dati il punto e il coefficiente angolare Prof. Nunzio ZARIGNO

Retta passante per due punti Per determinare l’equazione della retta passante per i generici punti e si utilizza la formula: , escludendo il caso (retta parallela all’asse y), e il caso (retta parallela all’asse x). ESEMPIO: Dati i punti e sostituendo nella formula si ottiene Prof. Nunzio ZARIGNO

Distanza di un punto da una retta Per calcolare la distanza di un punto da una retta si utilizza la formula: . Nel caso in cui l’equazione della retta sia nella forma esplicita si può utilizzare la formula: . ESEMPIO: Dati il punto e la retta di equazione sostituendo nella formula otterremo: Prof. Nunzio ZARIGNO

Intersezione tra due rette Date due generiche rette e , la loro intersezione (il punto che hanno in comune) si ottiene risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette. Se il sistema ammette una soluzione (determinato) le rette sono incidenti: Se il sistema non ammette soluzioni (impossibile) le rette sono parallele: Se il sistema ammette infinite soluzioni (indeterminato) le rette sono coincidenti: Prof. Nunzio ZARIGNO

Intersezione tra due rette ESEMPIO: Date le rette di equazioni e risolviamo il sistema il punto d’intersezione è: Prof. Nunzio ZARIGNO

Esercizi 1) Rappresenta sul piano cartesiano le rette di equazioni 2) Trova l’equazione della retta passante per il punto e parallela alla retta di equazione 3) Trova l’equazione della retta passante per il punto e perpendicolare alla retta di equazione 4) Trova l’equazione della retta passante per il punti 5) Calcola la distanza del punto dalla retta di equazione Prof. Nunzio ZARIGNO 6) Calcola in cm l’area del triangolo di vertici 7) Trova le coordinate del punto d’intersezione, se esiste, tra le rette e . . . .