Limiti UN FILMATO SU YOU TUBE Push it to the Limit! Scarface. Trailer del film Scarface Guardate il filmato, ascoltate la musica E non lasciate sfuggirvi l’idea di limite! Perché… Toccherà a voi fare un video sul limite!

I limiti Grande successo in ingegneria e nelle scienze della vita (costruzioni,industria, previsioni di infezione, comportamenti biologici) Enormi danni in tutti gli altri campi. Sono alla base della crisi finanziaria del 2009

I limiti Introdotti nell’Ottocento scuola francese per la costruzione di Ponti e Strade da Augustin Louis Cauchy Un tentativo di ricondurre alla portata della ragione un concetto “irrazionale” : gli infinitesimi Oggi gli ingegneri continuano a usare gli infinitesimi

Topologia in R Topologia : studio delle trasformazioni “continue” Permette di fare calcoli guardando le figure. E’ uno strumento veloce, corretto ed elegante Inventori: Carl Weierestrass, Felix Hausdorff, …..

Topologia in R Sia A  R. Si chiama insieme derivato di A, e si indica con D(A), l’insieme dei punti di accumulazione di A Teorema Il derivato di un intervallo aperto è un intervallo chiuso –ovvio- Se D(A) = A l’insieme si chiama chiuso Teorema un insieme è chiuso se contiene tutti i punti di accumulazione –ovvio- Il complemento di un insieme chiuso si dice aperto

Topologia in R 0 1 è chiuso non è chiuso, perché il suo derivato è ma il suo complemento è 0 1 che è chiuso Quindi (0,1) è un aperto

Limiti Studiano il comportamento della funzione sulla frontiera del dominio Per calcolare i limiti usiamo strumenti topologici (analisi qualitativa) e strumenti analitici (equazioni,disequazioni,regole di calcolo)

Limiti Se x tende a 0 il valore della funzione diventa sempre più grande La funzione diverge

Lo studio delle funzioni razionali Il comportamento “al limite” 0 è un punto di accumulazione per f Possiamo quindi vedere come si comporta f vicino allo zero

I Limiti 0, , , , x x y y Se x si avvicina a zero da destra, allora f diventa sempre più grande

-0, , , , x x y y Se x si avvicina a zero da sinistra allora f diventa sempre più grande I Limiti

Limiti x y

Definizione Sia f(a,b)  R una funzione e sia x 0  (a,b). “Per ogni cosa che facciamo, esiste un bambino cinese di cinque anni che la fa in un tempo minore del nostro” Se, per ogni M >0 esiste un intorno di x 0 tale che, se x appartiene all’intorno, f(x) >M (A.L.Cauchy)

Calcolo dei limiti Per ogni M > 0 esiste  >0 tale che, se x  I(0,  ) f(x)>M M +  -  0

Calcolo dei limiti M +  -  0 x1 x2 x3 x4 x1  I(0,  ) e f(x1)>Mx2  I(0,  ) e f(x2)>M x3  I(0,  ) e f(x3)>M x4  I(0,  ) e f(x4)>M f(x4) f(x3) f(x2) f(x1) M M

Calcolo del limite Determiniamo la relazione analitica tra M e  Primo metodo: (ITIS, IPIA,Licei)

Calcolo del limite Per ogni M, trovo Tale che, se

Calcolo del limite Questo metodo richiede estrema padronanza delle equazioni e disequazioni letterali C’è un’alternativa.

Il calcolo dei limiti Una tabella dei limiti notevoli, calcolati una volta sola con la definizione di Cauchy Un insieme di regole di calcolo, per calcolare tutti gli altri limiti

Calcolo dei limiti Limiti notevoli Regola 1 Siano f,g : (a,b)  R e sia x0  (a,b). Allora Regola 2 Siano f,g : (a,b)  R e sia x0  (a,b). Allora Regola 3 Sia f : (a,b)  R, g(c,d)  R e sia x 0  (a,b), y 0 =f(x 0 )  (a,b) Allora

Calcolo dei limiti