I fondamenti della geometria Dott.ssa Silvana Spedaliere

Introduzione

geo - metria La parola geometria deriva dal greco antico: γεωμετρία, composta da γεω (geo) che significa "terra" e da μετρία (metria) che significa "misura", che tradotto alla lettera significa “misura della terra”. Lo storico greco Erodoto, vissuto tra il 484 a.C. e il 425 a.C., racconta che a causa delle periodiche inondazioni del fiume Nilo gli egiziani erano costretti a ricostruire ogni anno i confini dei singoli possedimenti terrieri e in questo modo avevano sviluppato delle modalità tecniche per la misura della terra.

A quell’epoca la geometria non poteva ancora dirsi una scienza, perché fu solo secoli dopo che cominciò a svincolarsi dai problemi pratici e a svilupparsi come scienza razionale. Questo passaggio si realizzò gradualmente dal VI al III sec. a.C., per opera di grandi matematici: Talete (ca. 624-545 a.C.) Pitagora (ca. 570-490 a.C.) Euclide (ca.367-283 a.C.) Archimede (ca. 287-212 a.C.)

Nel III secolo a.C. il matematico ellenico Euclide, vissuto ad Alessandria in Egitto, diede una struttura razionale alle conoscenze geometriche note sino ad allora scrivendo una delle più grandi opere della cultura occidentale, gli “Elementi”. Questa grande opera è organizzata in 13 libri, di cui i primi sei riguardano la Geometria Piana, i successivi quattro trattano i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre riguardano la Geometria Solida.

Nell’angolo in basso a destra, Euclide insegna la geometria a un gruppo di discepoli. La scuola di Atene di Raffaello, 1509-1510 La geometria di Euclide è sostanzialmente quella che ancora oggi si studia in tutte le scuole e che si dice appunto geometria euclidea.

Cosa significa fare “geometria” È un primo passo con il quale un soggetto umano cerca di porsi razionalmente in rapporto con gli oggetti che lo circondano. I concetti della geometria nascono dalla esperienza, la quale causa percezioni attinenti a diverse aree sensoriali, in particolare si può fare riferimento a due ambiti sensoriali: la fantasia trae le immagini e la mente i concetti della geometria La geometria tratta “oggetti” del tutto ideali, che però rappresentano qualcosa esistente nella realtà.

La Geometria è il contesto nel quale il ragionamento e i processi deduttivi possono essere praticati senza richiedere un simbolismo fortemente convenzionale. Molte attività geometriche, inoltre, sviluppano l’immaginazione e l’intuito, consentendo di educare la fantasia all’estrapolazione e all’astrazione. Il filosofo Platone (427-347 a.C.) scrive nella Repubblica “I geometri si servono di figure visibili e ragionano su di esse, non pensando a esse, bensì a quelle di cui sono le immagini, ragionando sul quadrato in sé e sulla diagonale in sé, e non su quello o quella che disegniamo”

Kant scriveva: "Lo spazio è una rappresentazione necessaria a priori, la quale sta a fondamento di tutte le istituzioni esterne. Non si può mai formare la rappresentazione che non vi sia spazio, sebbene si possa benissimo pensare che in esso non si trovi nessun oggetto. Lo spazio viene quindi considerato come la condizione della possibilità dei fenomeni, non come una determinazione dipendente da essi: ed è una rappresentazione a priori, la quale è necessariamente a fondamento dei fenomeni esterni."

Gli oggetti raffigurati sono molto diversi fra loro, ma ci sono degli elementi comuni: tutti occupano un certo spazio ognuno di essi ha una forma precisa ci sono delle forme che sono comuni ad alcuni oggetti

Osservando le figure si può dire che: La biglia ha la forma di sferica I segnali stradali sono triangolari, circolari e ottagonali I famosi monumenti tombali dell’antico Egitto hanno forma di piramide La corolla di un girasole ha forma circolare con all’interno tanti puntini I palazzi hanno forma di prisma e di cilindro e le finestre hanno forma rettangolare

Il triangolo, il rettangolo la sfera o più in generale un poligono sono modelli ideali che servono per descrivere la realtà che ci circonda ed individuare le proprietà comuni ad alcuni oggetti.. La geometria nasce come studio sistematico dello spazio fisico e delle forme che in esso si muovono.

Proprietà dello spazio. Dimensione e forma degli oggetti Mappa di sintesi Geometria può essere si occupa di può essere Intuitiva Razionale Proprietà dello spazio. Dimensione e forma degli oggetti si basa su parte da Osservazioni Prove Tentativi Concetti primitivi Postulati da cui si deducono Mediante definizioni Mediante dimostrazioni Nuovi enti Nuove proprietà (Teoremi)

Geometria intuitiva La geometria intuitiva si basa sull’osservazione dei corpi e sulle esperienze eseguite con alcuni strumenti di misura, per esempio il righello graduato o il goniometro.

Geometria razionale La geometria razionale si basa sul ragionamento rigoroso e sistematico.

POSTULATI - assiomi Alcune proposizioni devono essere assunte come vere, non dedotte e costituiscono la base per costruire la teoria geometrica, queste proposizioni si chiamano “postulati” o “assiomi” Nota storica Kant ritenne che i teoremi e i postulati della Geometria Euclidea fossero affermazioni sintetiche a priori; in particolare il quinto postulato esiste a priori nella nostra mente come strumento per la conoscenza della realtà.

TEOREMA Una preposizione che sia stata dedotta col ragionamento da precedenti proprietà, è detta Teorema. L’insieme dei ragionamenti svolti per stabilire la validità di un teorema è detto Dimostrazione. Le parti fondamentali di un teorema (o di qualsiasi proposizione che non sia un postulato) sono: Le Ipotesi, ovvero le condizioni che si ammettono per vere. La Tesi, ovvero l’asserzione che si deve dimostrare partendo dalle ipotesi. I ⇒ T

I ⇒ T esempio Consideriamo il seguente teorema: In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. A C B I L’ipotesi è che il triangolo è isoscele, cioè: AB = AC = b La tesi è che gli angoli alla base del triangolo sono uguali: ⇒ T

Per dimostrare un teorema si può utilizzare il: MODO DIRETTO: si opera partendo dalle ipotesi e facendo vedere che la tesi è una conseguenza diretta di nozioni già note. MODO INDIRETTO: supponendo che la tesi sia falsa si perviene ad una conclusione che contraddice l’ipotesi, quindi il teorema è vero in quanto risulterebbe assurdo ritenere che la tesi sia falsa.

Teorema diretto e inverso COROLLARIO È detto Corollario una proposizione che è immediata conseguenza di un teorema o postulato. Teorema diretto e inverso Talvolta trasformando la tesi in ipotesi e l’ipotesi in tesi, si ottiene una proposizione vera che dicesi teorema inverso del teorema dato (che sarà il teorema diretto) Se si verifica che: I ⇒ T T ⇒ I e le due proposizioni sono logicamente equivalenti, ossia: I  T

I T ⇒ esempio Il triangolo è isoscele, cioè: AB = AC = b In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. Teorema diretto: I T ⇒ Il triangolo è isoscele, cioè: AB = AC = b Gli angoli alla base del triangolo sono uguali: A C B

I T ⇒ Due angoli sono congruenti: Il triangolo è isoscele, cioè: Un triangolo avente due angoli congruenti è isoscele. Teorema indiretto: I T ⇒ Due angoli sono congruenti: Il triangolo è isoscele, cioè: AB = AC = b Il teorema precedente si può esporre allora nel seguente modo: Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.

Geometria non euclidee Una geometria non euclidea è una geometria in cui valgono tutti gli assiomi di Euclide, tranne quello delle parallele. disco di Poincaré Questa geometria non-euclidea è rappresentata in molte fotografie di Mauritis Escher

Gli enti geometrici fondamentali La geometria di Euclide si basa sui concetti fondamentali di punto, che vengono comunemente chiamati enti geometrici fondamentali. retta e piano, piano punto ● la retta Sono concetti primitivi per la geometria,  di essi non si dà una definizione e costituiscono la base per definire tutti gli altri enti della geometria.

Punto Il punto è privo di dimensioni ed occupa solo una posizione. Un punto si indica con una lettera maiuscola dell’alfabeto italiano: A, B, C, …. A C B ● ● ● Nota storica Euclide definiva il punto “ciò che non ha parti”

Retta La retta è un insieme infinito di punti allineati e ordinati: ha una sola dimensione, la lunghezza. La retta mantiene sempre la stessa direzione ed è infinitamente estesa nei due sensi. Una retta si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto italiano r

PIANO Il piano è un insieme infinito di punti e rette che si estendono in due dimensioni: larghezza e lunghezza. α Un piano si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto greco: α (alfa), β (beta), γ (gamma) ….

Postulati Esistono infiniti punti, infinite rette e infiniti piani Per due punti distinti passa una e una sola retta A B Ne consegue che se due rette hanno due punti distinti in comune, allora esse coincidono DEF. Due rette si dicono incidenti se hanno uno, e uno solo, punto in comune. s P r

DEF. Due rette si dicono complanari se appartengono a uno stesso piano; se non appartengono a uno stesso piano si dicono sghembe. Per un punto passano infinite rette DEF. L‟insieme di tutte le rette di un piano che passano per uno stesso punto è detto fascio proprio di rette, il punto in comune a tutte le rette si dice centro del fascio.

Ogni retta contiene almeno due punti. Dati due punti distinti A e B di una retta r, se A precede B, allora B segue A Dati tre punti distinti A, B e C di una retta r, se A precede B e B precede C allora A precede C Dati due punti distinti A e C, esiste almeno un punto B, sulla retta AC, giacente fra di essi.

Alla retta appartengono infiniti punti DEF. Tre punti appartenenti ad una stessa retta si dicono allineati. A B C DEF. Una retta si dice orientata quando è fissato su di essa un verso di percorrenza. Su una retta r si possono stabilire due versi di percorrenza A B A B La retta è orientata da A verso B La retta è orientata da B verso A

Per una retta passano infiniti piani Sopra una retta non esiste un punto che preceda né uno che segua tutti gli altri Per una retta passano infiniti piani La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano α

Per tre punti distinti non allineati, passa un piano ed uno solo In un piano esistono almeno tre punti distinti non appartenenti ad una stessa retta Per tre punti distinti non allineati, passa un piano ed uno solo α Un piano è diviso da ogni sua retta in due parti distinte, ciascuna delle quali contiene infiniti punti α

Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari

SEMIRETTA DEF. La semiretta è ciascuna delle due parti di una retta delimitate da un punto, detto origine. ● O semiretta semiretta origine La semiretta è illimitata solo da un verso. La semiretta si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto italiano o con due lettere maiuscole, di cui una l’origine e l’altra un punto qualsiasi della semiretta.

SEGMENTO DEF. Il segmento AB è l’insieme dei punti A e B e di tutti quelli che stanno tra A e B.. I punti A e B si dicono estremi del segmento. A B Segmento AB Semiretta di origine B Semiretta di origine A Un segmento viene indicato con le due lettere maiuscole dei suoi estremi, oppure con una lettera minuscola.

A B Il segmento: è formato dai due punti estremi e dall’insieme dei punti fra essi compresi; ha una dimensione detta lunghezza; ha un inizio e una fine; è formato da infiniti punti. Con AB si indica “il segmento di estremi A e B” Con si indica “la lunghezza del segmento AB è …”

Due segmenti nel piano possono trovarsi in diverse posizioni reciproche. DEF. Due segmenti sono consecutivi se hanno in comune un estremo e nessun altro punto. A B C DEF. Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta. A B C

Quali sono consecutivi? B C B A Q P A B P Q NO SI NO Quali sono Adiacenti? A B Q P A B Q P A B C NO NO SI

B A C Il segmento compreso fra i due estremi non comuni di due segmenti adiacenti è detto segmento somma dei due segmenti AD = AB + BC Due segmenti sono sovrapposti se hanno in comune un estremo e altri punti. Il segmento compreso fra i due estremi non comuni BC di due segmenti sovrapposti AB e AC è detto segmento differenza dei due segmenti BC = AC – AB B A C

DEF. Due segmenti sono congruenti se hanno uguale lunghezza. AB  CD si legge “AB è congruente a CD” si legge “la lunghezza del segmento AB è uguale alla lunghezza del segmento CD” A B C D

a b a b a b LEGGE DI eSCLUSIONE a < b a = b a > b Dati due segmenti a e b, si verifica sempre e necessariamente uno e uno solo dei casi seguenti: a < b a = b a > b a b a b a b

Confronto fra segmenti Dati due segmenti AB e CD, per confrontarli si sovrappongono le due semirette AB e CD, in modo che le loro origini A e C coincidano e che B e D cadano da una stessa banda rispetto ai punti sovrapposti A  C. Si possono presentare tre diverse situazioni: A B I due punti B e C vengono a coincidere: AB = CD  C D C D D viene a cadere tra B e C: AB > CD C D A B  C D B viene a cadere tra B e C: AB < CD C D A B  C D

Somma di segmenti a’ b’ b a a + b c = a - b. Dati due segmenti a e b, la loro somma è il segmento che si ottiene disponendo uno adiacente all’altro due segmenti a’ e b’ rispettivamente congruenti ad a e b. a’ b’ b a a + b Dati due segmenti a e b, con a > b, si chiama differenza tra a e b il segmento c che addizionando al minore dà per somma il maggiore: c = a - b.

Multipli e sottomultipli di un segmento Se n è un qualunque intero maggiore o uguale a 2, la somma di n segmenti congruenti ad un segmento dato a si dice multiplo di a secondo n, e si indica con il simbolo b = na a 2a 5a Se un segmento b è multiplo di un segmento a secondo il numero n, si dice che a è sottomultiplo di b secondo lo stesso numero n, ovvero: b = a

SEMIPIANO DEF. Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano semipiano Origine semipiano

Angoli DEF. Si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l’origine in comune r angolo lato angolo s lato vertice l’origine comune O alle due semirette si dice vertice dell’angolo. Le semirette r e s si dicono lati dell’angolo; Le semirette r e s si dicono lati dell’angolo;

Per indicare gli angoli si usano diverse convenzioni:  • rs se si conoscono i nomi delle semirette che ne costituiscono i lati; • se si conoscono i nomi del vertice e di due punti sui lati; • α, β, γ,  …. una lettera greca per indicare direttamente l’angolo.

concavo convesso Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati Quando si disegna un angolo è utile, oltre a disegnare le semirette e l’origine, indicare con un archetto quale dei due angoli si intende considerare. Per indicare che l’angolo da considerare è quello convesso e non quello concavo si è usato un archetto in prossimità del vertice O.

ANGOLI PARTICOLARI O Angolo piatto DEF. Un angolo si dice angolo piatto se i suoi lati sono uno il prolungamento dell’altro. DEF. Un angolo si dice angolo nullo se è costituito solo da due semirette sovrapposte. O Angolo nullo a b DEF. Si dice angolo giro l’angolo che ha per lati due semirette sovrapposte e che contiene tutti i punti del piano. Angolo giro a b L’angolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà ampiezza massima

DEF. Due angoli si dicono angoli consecutivi se hanno il vertice e un lato comune e giacciono da parte opposta rispetto al lato comune. DEF. Due angoli si dicono angoli adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni giacciono sulla stessa retta. adiacenti

Quali sono consecutivi? B B A C O Q C P A O NO NO SI DEF. Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati del primo sono i prolungamenti dei lati dell’altro. O

Angoli Particolari Angolo retto O a b DEF. Un angolo si dice retto se è metà di un angolo piatto. Angolo acuto O a b DEF. Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto. Angolo ottuso O a b DEF. Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto.

L’angolo … misuriamolo Ogni angolo ha un’ampiezza. L’ampiezza di un angolo si misura con il ... goniometro

MISURA L’unità di misura comunemente usata per misurare gli angoli è la trecentosessantesima parte dell’angolo giro, quest’angolo si chiama grado, e si indica con un cerchietto posto in alto °. Il goniometro è suddiviso in 360° o 180°

Si ha quindi: 0° O < 90° 90° > 90° 180° 360° Angolo nullo a b 0° Angolo acuto O a b < 90° Angolo retto O a b 90° Angolo ottuso O a b > 90° O Angolo piatto 180° Angolo giro a b 360°

Nella figura si può osservare un angolo di: Per misurare un angolo si deve far coincidere il centro del goniometro con il vertice dell’angolo. Il primo segmento della scala, cioè 0°, deve passare per un lato (se è corto bisogna prolungarlo). Nella figura si può osservare un angolo di: B B 60° 120° A A O O

Quali angoli ci sono? Acuti Retti Giro Ottusi Piatti

Bisettrice B Si consideri l’angolo C Si tracci una semiretta che ha origine nel suo vertice e che divide l’angolo a metà bisettrice Tale retta prende il nome di bisettrice A O Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide l’angolo in due parti uguali

Confronto di angoli Dati due angoli e per confrontarli si procede così: A O B A’ O B’ Si sovrappongono le due semirette AO e A’O’, in modo che le loro origini coincidano e che OB e O’B’ cadano nella stessa banda rispetto alle semirette sovrapposte AO e A’O

Se il lato OB’ cade all’interno dell’angolo , allora si ha che l’angolo: Se il lato OB’ cade all’esterno dell’angolo , allora si ha che l’angolo: A O B A’ O B’ A’ O B’

Se il lato OB’ si sovrappone al lato OB, allora si ha che l’angolo:

Somma di angoli Dati due angoli e , la loro somma è l’angolo che si ottiene disponendo uno consecutivo all’altro due angoli congruenti a quelli dati A O B C K D C K D A O B è la somma fra l’angolo e l’angolo

Differenza di angoli Dati due angoli e , per fare la differenza di due angoli si sovrappongono le due semirette AO e CK, in modo che le loro origini coincidano e che OB e KD cadano nella stessa banda rispetto alle semirette sovrapposte AO e CK C K D A O B A O B C K D è la differenza fra l’angolo e l’angolo

Sottomultipli / multipli di angoli Si suddivida l’angolo in tre parti uguali L’angolo è un sottomultiplo di L’angolo è un multiplo di

Sottomultipli / multipli di angoli Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero intero di volte  = β β è sottomultiplo di  perché è contenuto n volte in  Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero intero di volte : n  = n β β α  è multiplo di β perché lo contiene n volte x n

Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI  + β = 180° β  Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI  + β = 90°  β

Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI β   + β = 360° β 