GRAFICO DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE DI GRAFICO SIMMETRIE GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI

. . . . . . . DEFINIZIONE DI GRAFICO ESEMPIO INTRODUTTIVO: Data la funzione y = x2-x definita in R a valori in R, calcolando le immagini di alcuni elementi del dominio otteniamo la tabella: . Consideriamo le coppie x , y come punti e rappresentiamoli su un piano cartesiano x y 1 0 2 2 3 6 0 0 -1 2 -2 -3 . . 6 12 . . . . Considerando tutti gli elementi del domino e le loro immagini si ha un insieme infinito di punti che costituiranno il GRAFICO della funzione

Definizione 1 ( grafico di una funzione) Data una funzione definita nell’insieme A a valori in B , si dice grafico della funzione l’insieme dei punti del piano cartesiano del tipo ( x , f(x) ) ottenuti per tutti gli elementi x appartenenti al dominio A. Osservazione Nel grafico di una funzione non può mai accadere che due punti abbiano la stessa ascissa poiché per definizione di funzione l’immagine di ogni elemento x del dominio deve essere unica . Può essere il grafico di una funzione x y . NON può essere il grafico di una funzione x y1 y2 y3 . . x NON può essere il grafico di una funzione Graficamente quindi ogni retta parellela all’asse y può incontrare il grafico di una funzione al massimo in un punto

x y y x y x y y y x x x SIMMETRIE NEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE ESEMPI Questi grafici di funzione sono simmetrici rispetto all’asse y x y y y Questi grafici di funzione sono simmetrici rispetto all’origine degli assi x x x

Definizione 2 ( funzione pari, funzione dispari ) Data una funzione f definita in un insieme A simmetrico rispetto allo 0 (cioè tale che se x  A allora anche -x A per ogni x di A) , se risulta : f(-x) = f(x) ,  x A allora la funzione si dirà PARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’asse y) f(-x) = -f(x) ,  x A allora la funzione si dirà DISPARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’origine degli assi) Osservazione Se una funzione è pari o dispari e conosciamo il suo andamento per x [0 , + ) allora possiamo dedurre il suo andamento per x (- , 0) P Infatti, quando f è pari, se il punto P( x0, y0) appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x0, y0) x0 y0 . x0 . Quando f è dispari, se il punto P( x0, y0) appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x0, - y0) y0 P -x0 P’ . . -y0 -x0 P’

y = k y = m x + q GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI Dominio: R FUNZIONE COSTANTE k Dominio: R Codominio: { k } Grafico: retta parallela all’asse x di equazione y = k FUNZIONE LINEARE (RETTA) y = m x + q Dominio: R Codominio: R Grafico: retta di coefficiente angolare m , inclinata verso l’alto se m > 0, verso il basso se m < 0 x y O m > 0 m < 0

y = a x2 + b x + c y = Dominio: R FUNZIONE QUADRATICA (PARABOLA) y = a x2 + b x + c y Dominio: R Grafico: parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y , concavità verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0 a > 0 a < 0 O x x O y k < 0 FUNZIONE DI PROPORZIONALITA’ INVERSA Dominio: R – { 0 } (ovvero x  0) Codominio: R – { 0 } Simmetrie: funzione dispari Grafico: se k > 0 il grafico è nel primo e nel terzo quadrante, mentre se k < 0 il grafico si trova nel secondo e nel quarto quadrante (in entrambi i casi il grafico è una iperbole equilatera riferita agli asintoti) y = k > 0

. . y = a x con a > 0 , a 1 Dominio: R Codominio: ( 0, +) FUNZIONE ESPONENZIALE Dominio: R Codominio: ( 0, +) Grafico: si trova sempre al di sopra dell’asse x ed interseca l’asse y nel punto (0,1). x y O . y = a x (a > 1) 1 Se a > 1 quando x tende a +  anche y tende a +  ; quando x tende a -  y tende a 0 Se 0 < a < 1 quando x tende a +  y tende a 0 ; quando x tende a -  y tende a +  x y O . y = a x (0 < a < 1) 1

. . y = loga x con a > 0 , a 1 Dominio: ( 0, + ) Codominio: R FUNZIONE LOGARITMICA x y O . 1 Dominio: ( 0, + ) Codominio: R Grafico: si trova sempre a destra dell’asse y ed interseca l’asse x nel punto (1,0). y = loga x (a > 1) Se a > 1 quando x tende a +  anche y tende a +  ; quando x tende a 0 y tende a -  Se 0 < a < 1 quando x tende a +  y tende a -  ; quando x tende a 0 y tende a +  y = loga x (0 < a < 1) x y O . 1